2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Сумма арккотангенсов.
Сообщение14.03.2012, 16:53 
Заслуженный участник


18/01/12
933
Найти наибольшее и наименьшее значение функции $f:\mathbb R\to\mathbb R$
$$f(x)=\sum\limits_{n=-\infty}^{\infty}\arcctg\frac{(n+x)^2}2.$$

(Оффтоп)

Поздравляю всех
с математическим праздником
Днём Числа $\pi$!


Изображение

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение14.03.2012, 17:13 
Заслуженный участник


26/06/07
1929
Tel-aviv

(Оффтоп)

$\pi!=7.1880...$ :mrgreen:

 Профиль  
                  
 
 Re: Сумма арккотангенсов.
Сообщение14.03.2012, 17:50 
Заслуженный участник


20/12/10
9116

(Оффтоп)

Задача, что называется, к празднику :D. Maple утверждает, что всё это есть $2\pi$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Сумма арккотангенсов.
Сообщение14.03.2012, 22:57 
Заслуженный участник


18/01/12
933
arqady в сообщении #548301 писал(а):

(Оффтоп)

$\pi! =7.1880...$ :mrgreen:

(Оффтоп)

Значит День Числа $\pi !$ будем отмечать 18 июля :lol: . За 4 дня до Дня Приближённого числа $\pi.$


nnosipov в сообщении #548317 писал(а):

(Оффтоп)

Задача, что называется, к празднику :D. Maple утверждает, что всё это есть $2\pi$.

(Оффтоп)

Вы правильно заметили! Задача подбиралась ИМЕННО к празднику. И Maple абсолютно прав! Осталось это доказать.
Доказательство — ПОЧТИ школьное.
ПОЧТИ — только потому, что в школе нет понятия бесконечной суммы.

 Профиль  
                  
 
 Re: Сумма арккотангенсов.
Сообщение20.03.2012, 02:54 
Аватара пользователя


09/08/11
137
СПб
Используя формулу $\arcctg x -\arcctg y = \arcctg \frac{xy+1}{y-x}$ переписываем общий член ряда в виде разности
$\arcctg \frac{(n+x)^2}{2}= \arcctg (n+x-1)-\arcctg(n+x+1)$ и ''сворачиваем'' конечную сумму к двум парам "хвостовых" членов:
$$\sum_{n=-N}^M\arcctg \frac{(n+x)^2}{2}= \arcctg (-N+x-1)+ \arcctg (-N+x)-\arcctg(M+x)-\arcctg(M+x+1).
$$
В пределе $N,M\to +\infty$ правая часть переходит в $2\arcctg (-\infty)-2\arcctg(+\infty)=2\pi-0=2\pi.$

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 5 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group