Сумма арккотангенсов.

[hippie]

Найти наибольшее и наименьшее значение функции $f:\mathbb R\to\mathbb R$

$$f(x)=\sum\limits_{n=-\infty}^{\infty}\arcctg\frac{(n+x)^2}2.$$

(Оффтоп)

Поздравляю всех
с математическим праздником
Днём Числа $\pi$!

[arqady]

(Оффтоп)

$\pi!=7.1880...$

[nnosipov]

(Оффтоп)

Задача, что называется, к празднику . Maple утверждает, что всё это есть $2\pi$.

[hippie]

arqady в сообщении #548301 писал(а):

(Оффтоп)

$\pi! =7.1880...$

(Оффтоп)

Значит День Числа $\pi !$ будем отмечать 18 июля . За 4 дня до Дня Приближённого числа $\pi.$

nnosipov в сообщении #548317 писал(а):

(Оффтоп)

Задача, что называется, к празднику . Maple утверждает, что всё это есть $2\pi$.

(Оффтоп)

Вы правильно заметили! Задача подбиралась ИМЕННО к празднику. И Maple абсолютно прав! Осталось это доказать.
Доказательство — ПОЧТИ школьное.
ПОЧТИ — только потому, что в школе нет понятия бесконечной суммы.

[AlexValk]

Используя формулу $\arcctg x -\arcctg y = \arcctg \frac{xy+1}{y-x}$ переписываем общий член ряда в виде разности
$\arcctg \frac{(n+x)^2}{2}= \arcctg (n+x-1)-\arcctg(n+x+1)$ и ''сворачиваем'' конечную сумму к двум парам "хвостовых" членов:

$$\sum_{n=-N}^M\arcctg \frac{(n+x)^2}{2}= \arcctg (-N+x-1)+ \arcctg (-N+x)-\arcctg(M+x)-\arcctg(M+x+1). $$

В пределе $N,M\to +\infty$ правая часть переходит в $2\arcctg (-\infty)-2\arcctg(+\infty)=2\pi-0=2\pi.$