2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Сумма арккотангенсов.
Сообщение14.03.2012, 16:53 
Заслуженный участник


18/01/12
933
Найти наибольшее и наименьшее значение функции $f:\mathbb R\to\mathbb R$
$$f(x)=\sum\limits_{n=-\infty}^{\infty}\arcctg\frac{(n+x)^2}2.$$

(Оффтоп)

Поздравляю всех
с математическим праздником
Днём Числа $\pi$!


Изображение

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение14.03.2012, 17:13 
Заслуженный участник


26/06/07
1929
Tel-aviv

(Оффтоп)

$\pi!=7.1880...$ :mrgreen:

 Профиль  
                  
 
 Re: Сумма арккотангенсов.
Сообщение14.03.2012, 17:50 
Заслуженный участник


20/12/10
9116

(Оффтоп)

Задача, что называется, к празднику :D. Maple утверждает, что всё это есть $2\pi$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Сумма арккотангенсов.
Сообщение14.03.2012, 22:57 
Заслуженный участник


18/01/12
933
arqady в сообщении #548301 писал(а):

(Оффтоп)

$\pi! =7.1880...$ :mrgreen:

(Оффтоп)

Значит День Числа $\pi !$ будем отмечать 18 июля :lol: . За 4 дня до Дня Приближённого числа $\pi.$


nnosipov в сообщении #548317 писал(а):

(Оффтоп)

Задача, что называется, к празднику :D. Maple утверждает, что всё это есть $2\pi$.

(Оффтоп)

Вы правильно заметили! Задача подбиралась ИМЕННО к празднику. И Maple абсолютно прав! Осталось это доказать.
Доказательство — ПОЧТИ школьное.
ПОЧТИ — только потому, что в школе нет понятия бесконечной суммы.

 Профиль  
                  
 
 Re: Сумма арккотангенсов.
Сообщение20.03.2012, 02:54 
Аватара пользователя


09/08/11
137
СПб
Используя формулу $\arcctg x -\arcctg y = \arcctg \frac{xy+1}{y-x}$ переписываем общий член ряда в виде разности
$\arcctg \frac{(n+x)^2}{2}= \arcctg (n+x-1)-\arcctg(n+x+1)$ и ''сворачиваем'' конечную сумму к двум парам "хвостовых" членов:
$$\sum_{n=-N}^M\arcctg \frac{(n+x)^2}{2}= \arcctg (-N+x-1)+ \arcctg (-N+x)-\arcctg(M+x)-\arcctg(M+x+1).
$$
В пределе $N,M\to +\infty$ правая часть переходит в $2\arcctg (-\infty)-2\arcctg(+\infty)=2\pi-0=2\pi.$

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 5 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: YandexBot [bot]


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group