Функции, которые не имеют нулей

[nnosipov]

ewert в сообщении #549322 писал(а):

А вот произносить слово "логарифм" явно при этом вовсе не обязательно.

А вот это --- дело вкуса. Во всяком случае, назвать логарифмом то, что в показателе экспоненты, вполне естественно.

ewert в сообщении #549322 писал(а):

... там возня с леммой Гейне-Бореля и с однозначностью аналитического продолжения.

Просто теорема единственности и возможность выделить однозначную ветвь $\ln{f(z)}$ в достаточно малой окрестности точки $z=0$.

[ewert]

nnosipov в сообщении #549323 писал(а):

Просто теорема единственности и возможность выделить однозначную ветвь $\ln{f(z)}$ в достаточно малой окрестности точки $z=0$.

Не так быстро -- всё это надо ещё непротиворечиво склеить.

[nnosipov]

ewert в сообщении #549325 писал(а):

Не так быстро -- всё это надо ещё непротиворечиво склеить.

Не надо ничего склеивать, функция $g(z)$ у нас уже есть во всей плоскости. Поэтому достаточно проверить равенство $e^{g(z)}=f(z)$ локально. А в малой окрестности $z=0$ оно выполнено.

[ewert]

nnosipov в сообщении #549326 писал(а):

функция $g(z)$ у нас уже есть во всей плоскости.

Откуда? Если мы именно её существование и пытаемся доказать.

[nnosipov]

ewert в сообщении #549327 писал(а):

Откуда? Если мы именно её существование и пытаемся доказать.

Здесь какое-то банальное недопонимание. Функцию $g(z)$ мы задаём тем интегралом (я ничего другого и не имел в виду). Потом доказываем равенство $g(z)=\ln{f(z)}$ локально. Наконец, ссылаемся на теорему единственности.

[ewert]

nnosipov в сообщении #549332 писал(а):

Функцию $g(z)$ мы задаём тем интегралом (я ничего другого и не имел в виду). Потом доказываем равенство $g(z)=\ln{f(z)}$ локально. Наконец, ссылаемся на теорему единственности.

Ну, если интегралом, то такая цепочка излишня -- логически проще проверить равенство $f(z)=e^{g(z)}$ дифференцированием в лоб, как я раньше и писал.

Я имел в виду принципиально другой способ доказательства. Оформлять его можно по-разному; например, так. Функцию $g(z)=\ln z$ можно однозначно определить в некоторой окрестности $N_0$ нуля. Пусть $R$ -- это супремум радиусов тех кругов, на которые можно аналитически продолжить из $N_0$ эту функцию так, чтобы в пределах круга она оставалась логарифмом. Надо доказать, что $R=\infty$.
Предположим обратное. Возьмём окружность радиуса $R$. Для каждой точки окружности выберем некоторую её окрестность, в пределах которой логарифм можно определить однозначно. По лемме Гейне-Бореля выберем из этого открытого покрытия конечное подпокрытие окружности. Возьмём круг радиуса $r<R$ такой, что он пересекается с пересечением каждой пары соседних выбранных окрестностей. В каждой из выбранных окрестностей возьмём ту ветвь логарифма, которая на пересечении этой окрестности с кругом радиуса $r$ совпадает с функцией $g(z)$; тогда и на пересечении любых двух соседних окрестностей эти ветви тоже будут давать один и тот же результат. Однако объединение круга радиуса $r$ и всех выбранных окрестностей содержит в себе некоторый круг радиуса, большего $R$, и на этом большем круге $g(z)$ определена как логарифм. Противоречие.

В общем, всё вполне очевидно, но и вполне занудно. По-моему, вариант с определением $g(z)$ через интеграл и последующей проверкой тождества тупым дифференцированием -- логически куда проще.

[ex-math]

ewert
Задать $g(z)$ интегралом, и доказать, что $e^{g(z)}$ равно $f(z)$, "тупым дифференцированием" - хороший вариант. Так же можно обосновать полезное утверждение: если $f(z)$ аналитична и не имеет нулей в односвязной области, то в этой области можно выделить однозначную ветвь $\ln f(z)$.

[ewert]

ex-math в сообщении #549744 писал(а):

то в этой области можно выделить однозначную ветвь $\ln f(z)$.

Ну так это просто одно и то же. То, что $f(z)$ можно представить как $e^g(z)$ с целой $g(z)$ и то, что существует однозначная ветвь $\ln f(z)$ -- это одно и то же утверждение.

[ex-math]

Я имел в виду не во всей плоскости, а в односвязной области. Например, так доказывается теорема Литтлвуда (утверждение, родственное формуле Иенсена, можно посмотреть у Титчмарша в "Теории функций"). Плоскость разрезается по лучам, исходящим из нулей $f(z)$, и в такой области берется однозначная ветвь логарифма $f(z)$, с которой дальше и работают.

[kkapitonets]

Если аналитическая функция представима бесконечным рядом $\sum a_nz^n$, то почему аналитическая функция может не иметь нулей?

Если я правильно понимаю, $\sum a_nz^n$ является многочленом бесконечной степени, а в соответствии с основной теоремой алгебры такой многочлен должен иметь бесконечное количество нулей.

Что здесь не так?

$\sum a_nz^n$ - не многочлен

или на бесконечные многочлены основная теорема не распространяется?

[nnosipov]

kkapitonets в сообщении #1534282 писал(а):

Если аналитическая функция представима бесконечным рядом $\sum a_nz^n$, то почему аналитическая функция может не иметь нулей?

Задайте этот вопрос функции $e^z$ (ты почему, такая-сякая, не имеешь нулей?).

kkapitonets в сообщении #1534282 писал(а):

Что здесь не так?

Да все не так.

kkapitonets в сообщении #1534282 писал(а):

$\sum a_nz^n$ - не многочлен

Да, не многочлен.

kkapitonets в сообщении #1534282 писал(а):

на бесконечные многочлены основная теорема не распространяется?

Нет такого понятия --- бесконечный многочлен. Соответственно, основная теорема алгебры не может распространяться на непонятно что. Она только про многочлены.

[kkapitonets]

ясно, спасибо