2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2, 3
 
 Re: Функции, которые не имеют нулей
Сообщение17.03.2012, 14:56 
Заслуженный участник


20/12/10
8858
ewert в сообщении #549322 писал(а):
А вот произносить слово "логарифм" явно при этом вовсе не обязательно.
А вот это --- дело вкуса. Во всяком случае, назвать логарифмом то, что в показателе экспоненты, вполне естественно.
ewert в сообщении #549322 писал(а):
... там возня с леммой Гейне-Бореля и с однозначностью аналитического продолжения.
Просто теорема единственности и возможность выделить однозначную ветвь $\ln{f(z)}$ в достаточно малой окрестности точки $z=0$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Функции, которые не имеют нулей
Сообщение17.03.2012, 14:58 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
nnosipov в сообщении #549323 писал(а):
Просто теорема единственности и возможность выделить однозначную ветвь $\ln{f(z)}$ в достаточно малой окрестности точки $z=0$.

Не так быстро -- всё это надо ещё непротиворечиво склеить.

 Профиль  
                  
 
 Re: Функции, которые не имеют нулей
Сообщение17.03.2012, 15:02 
Заслуженный участник


20/12/10
8858
ewert в сообщении #549325 писал(а):
Не так быстро -- всё это надо ещё непротиворечиво склеить.
Не надо ничего склеивать, функция $g(z)$ у нас уже есть во всей плоскости. Поэтому достаточно проверить равенство $e^{g(z)}=f(z)$ локально. А в малой окрестности $z=0$ оно выполнено.

 Профиль  
                  
 
 Re: Функции, которые не имеют нулей
Сообщение17.03.2012, 15:06 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
nnosipov в сообщении #549326 писал(а):
функция $g(z)$ у нас уже есть во всей плоскости.

Откуда? Если мы именно её существование и пытаемся доказать.

 Профиль  
                  
 
 Re: Функции, которые не имеют нулей
Сообщение17.03.2012, 15:18 
Заслуженный участник


20/12/10
8858
ewert в сообщении #549327 писал(а):
Откуда? Если мы именно её существование и пытаемся доказать.
Здесь какое-то банальное недопонимание. Функцию $g(z)$ мы задаём тем интегралом (я ничего другого и не имел в виду). Потом доказываем равенство $g(z)=\ln{f(z)}$ локально. Наконец, ссылаемся на теорему единственности.

 Профиль  
                  
 
 Re: Функции, которые не имеют нулей
Сообщение17.03.2012, 16:16 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
nnosipov в сообщении #549332 писал(а):
Функцию $g(z)$ мы задаём тем интегралом (я ничего другого и не имел в виду). Потом доказываем равенство $g(z)=\ln{f(z)}$ локально. Наконец, ссылаемся на теорему единственности.

Ну, если интегралом, то такая цепочка излишня -- логически проще проверить равенство $f(z)=e^{g(z)}$ дифференцированием в лоб, как я раньше и писал.

Я имел в виду принципиально другой способ доказательства. Оформлять его можно по-разному; например, так. Функцию $g(z)=\ln z$ можно однозначно определить в некоторой окрестности $N_0$ нуля. Пусть $R$ -- это супремум радиусов тех кругов, на которые можно аналитически продолжить из $N_0$ эту функцию так, чтобы в пределах круга она оставалась логарифмом. Надо доказать, что $R=\infty$.
Предположим обратное. Возьмём окружность радиуса $R$. Для каждой точки окружности выберем некоторую её окрестность, в пределах которой логарифм можно определить однозначно. По лемме Гейне-Бореля выберем из этого открытого покрытия конечное подпокрытие окружности. Возьмём круг радиуса $r<R$ такой, что он пересекается с пересечением каждой пары соседних выбранных окрестностей. В каждой из выбранных окрестностей возьмём ту ветвь логарифма, которая на пересечении этой окрестности с кругом радиуса $r$ совпадает с функцией $g(z)$; тогда и на пересечении любых двух соседних окрестностей эти ветви тоже будут давать один и тот же результат. Однако объединение круга радиуса $r$ и всех выбранных окрестностей содержит в себе некоторый круг радиуса, большего $R$, и на этом большем круге $g(z)$ определена как логарифм. Противоречие.

В общем, всё вполне очевидно, но и вполне занудно. По-моему, вариант с определением $g(z)$ через интеграл и последующей проверкой тождества тупым дифференцированием -- логически куда проще.

 Профиль  
                  
 
 Re: Функции, которые не имеют нулей
Сообщение18.03.2012, 18:02 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


24/02/12
1842
Москва
ewert
Задать $g(z)$ интегралом, и доказать, что $e^{g(z)}$ равно $f(z)$, "тупым дифференцированием" - хороший вариант. Так же можно обосновать полезное утверждение: если $f(z)$ аналитична и не имеет нулей в односвязной области, то в этой области можно выделить однозначную ветвь $\ln f(z)$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Функции, которые не имеют нулей
Сообщение18.03.2012, 20:03 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
ex-math в сообщении #549744 писал(а):
то в этой области можно выделить однозначную ветвь $\ln f(z)$.

Ну так это просто одно и то же. То, что $f(z)$ можно представить как $e^g(z)$ с целой $g(z)$ и то, что существует однозначная ветвь $\ln f(z)$ -- это одно и то же утверждение.

 Профиль  
                  
 
 Re: Функции, которые не имеют нулей
Сообщение19.03.2012, 09:20 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


24/02/12
1842
Москва
Я имел в виду не во всей плоскости, а в односвязной области. Например, так доказывается теорема Литтлвуда (утверждение, родственное формуле Иенсена, можно посмотреть у Титчмарша в "Теории функций"). Плоскость разрезается по лучам, исходящим из нулей $f(z)$, и в такой области берется однозначная ветвь логарифма $f(z)$, с которой дальше и работают.

 Профиль  
                  
 
 Re: Функции, которые не имеют нулей
Сообщение08.10.2021, 16:27 


07/05/19
56
Если аналитическая функция представима бесконечным рядом $\sum a_nz^n$, то почему аналитическая функция может не иметь нулей?

Если я правильно понимаю, $\sum a_nz^n$ является многочленом бесконечной степени, а в соответствии с основной теоремой алгебры такой многочлен должен иметь бесконечное количество нулей.

Что здесь не так?

$\sum a_nz^n$ - не многочлен

или на бесконечные многочлены основная теорема не распространяется?

 Профиль  
                  
 
 Re: Функции, которые не имеют нулей
Сообщение08.10.2021, 16:54 
Заслуженный участник


20/12/10
8858
kkapitonets в сообщении #1534282 писал(а):
Если аналитическая функция представима бесконечным рядом $\sum a_nz^n$, то почему аналитическая функция может не иметь нулей?
Задайте этот вопрос функции $e^z$ (ты почему, такая-сякая, не имеешь нулей?).
kkapitonets в сообщении #1534282 писал(а):
Что здесь не так?
Да все не так.
kkapitonets в сообщении #1534282 писал(а):
$\sum a_nz^n$ - не многочлен
Да, не многочлен.
kkapitonets в сообщении #1534282 писал(а):
на бесконечные многочлены основная теорема не распространяется?
Нет такого понятия --- бесконечный многочлен. Соответственно, основная теорема алгебры не может распространяться на непонятно что. Она только про многочлены.

 Профиль  
                  
 
 Re: Функции, которые не имеют нулей
Сообщение08.10.2021, 19:07 


07/05/19
56
ясно, спасибо

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 42 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group