А Вы как его доказываете более элементарно?
Это прямое следствие теоремы об обратной функции: если

, то
![$h(z)=\sqrt[k]{w-w_0}$ $h(z)=\sqrt[k]{w-w_0}$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/b/d/9/bd93ddd701e2e6861425a02cbb25079b82.png)
, где функция
![$h(z)=(z-z_0)\sqrt[k]{g(z)}$ $h(z)=(z-z_0)\sqrt[k]{g(z)}$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/6/5/265c401f29ee37ed950587531444128b82.png)
-- аналитическая в окрестности

(в достаточно малой окрестности эта функция может быть выбрана однозначной, т.к. там

мало отличается от

). И поскольку

-- по теореме об обратной функции уравнение
![$h(z)=\sqrt[k]{w-w_0}$ $h(z)=\sqrt[k]{w-w_0}$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/b/d/9/bd93ddd701e2e6861425a02cbb25079b82.png)
имеет единственное решение при всех достаточно малых

. А это ровно и означает, что достаточно малая окрестность образа

содержится в образе некоторой окрестности точки

.
Правда, сам Шабат в вопросе об обратной функции проявляет некоторое легкомыслие. Сразу же после определения производной он говорит:
Цитата:
Поэтому в комплексный анализ без всяких изменений переносятся элементарные правила дифференцирования (дифференцирование суммы, произведения, частного, сложной и обратной функции); мы не останавливаемся на их формулировках и доказательствах.
Так вот: если доказательства первых четырёх свойств действительно переносятся один к одному, то с последним дело обстоит сложнее. Проблема в том, что эта теорема утверждает не только формулу для производной обратной функции (с которой всё действительно тривиально), но и
существование обратной, и вот с существованием-то приходится повозиться. Во-первых, теорема об обратной функции требует (в отличие от предыдущих) не просто дифференцируемости, а непрерывной дифференцируемости, которой пока нет -- она появится гораздо позже, когда Шабат докажет теорему Коши и затем интегральные формулы Коши. Во-вторых (и в главных), теорема об обратной функции в комплексном варианте опирается (опять же в отличие от предыдущих) не на одномерную, а на
двумерную аналогичную вещественную теорему. В-третьих, в комплексном варианте эта теорема обобщается (как было выше намёкнуто) с соответствующими оговорками на любые точки, а не только на те, в которых производная не равна нулю. То ли я не заметил, то ли Шабат теорему об обратной функции действительно нигде не обсуждает.
Ну как бы там ни было -- теорема эта всё-таки верна и гораздо принципиальнее и элементарнее, чем теорема Руше (для формального её доказательства достаточно в лоб применить принцип сжимающих отображений).