2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 неизоморфность проколотого диска и кольца
Сообщение15.03.2012, 22:11 


18/10/11
22
Санкт-Петербург
Нужно доказать, что проколотый диск $D=\{\,z\mid 0<|z|<1\,\}$ неизоморфен кольцу $A=\{\,z\mid a<|z|<b\,\}$ $(0<a<b<\infty)$. Видимо здесь нужно как-то воспользоваться леммой Шварца, но что-то у меня не получается. Буду очень признателен вашей помощи.

 Профиль  
                  
 
 Re: неизоморфность проколотого диска и кольца
Сообщение15.03.2012, 22:37 
Заслуженный участник


13/12/05
4518
Пусть $f\colon D\to A$ -- конформное отображение. Функция $f$ ограничена в окрестности точки $z=0$. Поэтому она продолжается по непрерывности в эту точку, причем $f(0)\in \overline A$. Если в $D$ взять замкнутый круг радиуса меньше единицы с центром в нуле, то при помощи продолженного отображения $f$ можно будет организовать непрерывную ретракцию этого круга на свою границу. А это невозможно по теореме Брауэра.

 Профиль  
                  
 
 неизоморфность проколотого диска и кольца
Сообщение16.03.2012, 20:48 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
Padawan в сообщении #548767 писал(а):
ретракцию этого круга на свою границу. А это невозможно по теореме Брауэра.

Мощно задвинуто. Где Брауэр -- а где ТФКП?... Что он Гекубе, что ему Гекуба?...

На самом деле всё сводится просто к тому, что аналитический образ области есть область. И, в частности, образ ноля для продолженной функции -- это внутренняя точка кольца. Поэтому в образ ноля должна переводиться некоторая внутренняя точка выколотого круга (раз уж ноль выколот). Но при этом явно нарушалась бы взаимная однозначность отображения (образ окрестности этой второй точки перекрывался бы с образом окрестности ноля), вот и всё.

А если вдруг захочется отказаться от изоморфизма и потребовать лишь аналитичность отображения, то и утверждение станет неверным.

 Профиль  
                  
 
 Re: неизоморфность проколотого диска и кольца
Сообщение16.03.2012, 21:22 
Заслуженный участник


13/12/05
4518
ewert в сообщении #549062 писал(а):
Padawan в сообщении #548767 писал(а):
ретракцию этого круга на свою границу. А это невозможно по теореме Брауэра.

На самом деле всё сводится просто к тому, что аналитический образ области есть область. И, в частности, образ ноля для продолженной функции -- это внутренняя точка кольца. Поэтому в образ ноля должна переводиться некоторая внутренняя точка выколотого круга (раз уж ноль выколот). Но при этом явно нарушалась бы взаимная однозначность отображения (образ окрестности этой второй точки перекрывался бы с образом окрестности ноля), вот и всё.


Согласен, так проще. Однако я на самом деле показал большее -- что при гомеоморфизме круга на кольцо в нуле отображение обязательно будет разрывным.

 Профиль  
                  
 
 Re: неизоморфность проколотого диска и кольца
Сообщение16.03.2012, 21:42 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
Padawan в сообщении #549078 писал(а):
Однако я на самом деле показал большее -- что при гомеоморфизме

Так ведь в ТФКП всё это вовсе не нужно. "Не следует плодить сущностей без необходимостей", как говаривал тов. Оккам.

 Профиль  
                  
 
 Re: неизоморфность проколотого диска и кольца
Сообщение16.03.2012, 21:48 
Заслуженный участник


13/12/05
4518
ewert в сообщении #549093 писал(а):
"Не следует плодить сущностей без необходимостей", как говаривал тов. Оккам.

Здесь это совершенно не к месту. Какую сущность я наплодил? Я же наоборот указал на более общий факт, чисто топологический.

 Профиль  
                  
 
 Re: неизоморфность проколотого диска и кольца
Сообщение16.03.2012, 21:57 


18/10/11
22
Санкт-Петербург
Ваши рассуждения понятны, остался только один неясный момент: почему образ нуля для продолженной функции - это внутренняя точка кольца?

 Профиль  
                  
 
 Re: неизоморфность проколотого диска и кольца
Сообщение16.03.2012, 22:00 
Заслуженный участник


11/05/08
32166

(Оффтоп)

Padawan в сообщении #549099 писал(а):
Я же наоборот указал на более общий факт, чисто топологический.

Так ведь он же (именно в силу общности) и гораздо более сложный. А к чему?... Ведь подавляющее большинство народонаселения, изучающего ТФКП, никакой топологии вовсе не изучают.

Вот это-то и есть Оккам.


-- Пт мар 16, 2012 23:07:49 --

podsekalnikov в сообщении #549105 писал(а):
почему образ нуля для продолженной функции - это внутренняя точка кольца?

Потому, что ноль -- внутренняя точка круга, а мы уже установили, что функция продолжается до аналитической во всём круге (т.е. вплоть до ноля), а аналитический образ открытого множества открыт.

На самом деле последнее утверждение есть очевидное следствие другого, более технического (которое потом в моей выкладке используется ещё раз): что образ любой окрестности точки аналитичности содержит некоторую окрестность образа центра той исходной окрестности. Что достаточно очевидно следует из разложимости аналитической функции в степенной ряд.

 Профиль  
                  
 
 Re: неизоморфность проколотого диска и кольца
Сообщение16.03.2012, 22:20 
Заслуженный участник


13/12/05
4518
ewert в сообщении #549107 писал(а):
Вот это-то и есть Оккам.

Почитал, что про этот принцип пишут в википедии. В каком-то смысле правы Вы, а в каком-то я. С одной стороны я использую более сложные рассуждения, привлекаю теоремы Брауэра, когда можно без неё обойтись. С другой стороны Вы использует принцип сохранения области, когда можно без него обойтись.

 Профиль  
                  
 
 Re: неизоморфность проколотого диска и кольца
Сообщение16.03.2012, 22:26 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
Padawan в сообщении #549123 писал(а):
С другой стороны Вы использует принцип сохранения области, когда можно без него обойтись.

В ТФКП (а именно об ней и речь) без него никак не обойтись, тут он фундаментален. А вот общетопологические соображения -- факультативны.

 Профиль  
                  
 
 Re: неизоморфность проколотого диска и кольца
Сообщение17.03.2012, 00:04 


10/02/11
6786
Принцип сохранения области основан на теореме Руше, а теорема Руше, в ее общей версии, носит топологический характер и справедлива в $\mathbb{R}^m$. Из нее кстати следует теорема Брауэра.
Так, что любые попытки изъять задачи ТФКП из общего круга идей этого сорта выглядят противоестественно.

 Профиль  
                  
 
 Re: неизоморфность проколотого диска и кольца
Сообщение17.03.2012, 01:22 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
Oleg Zubelevich в сообщении #549172 писал(а):
Принцип сохранения области основан на теореме Руше,

Ни разу, это гораздо более элементарно. Не говоря уж о том, что всевозможные многомерные обобщения не имеют никакого отношения к задачке.

 Профиль  
                  
 
 Re: неизоморфность проколотого диска и кольца
Сообщение17.03.2012, 09:11 


10/02/11
6786
ewert в сообщении #549200 писал(а):
Ни разу, это гораздо более элементарно.

Шабат Введение в комплексный анализ том 1. А Вы как его доказываете более элементарно?

 Профиль  
                  
 
 Re: неизоморфность проколотого диска и кольца
Сообщение17.03.2012, 13:37 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
Oleg Zubelevich в сообщении #549233 писал(а):
А Вы как его доказываете более элементарно?

Это прямое следствие теоремы об обратной функции: если $f(z)=w_0+(z-z_0)^kg(z)=w$, то $h(z)=\sqrt[k]{w-w_0}$, где функция $h(z)=(z-z_0)\sqrt[k]{g(z)}$ -- аналитическая в окрестности $z_0$ (в достаточно малой окрестности эта функция может быть выбрана однозначной, т.к. там $g(z)$ мало отличается от $g(z_0)\neq0$). И поскольку $h'(z_0)\neq0$ -- по теореме об обратной функции уравнение $h(z)=\sqrt[k]{w-w_0}$ имеет единственное решение при всех достаточно малых $w-w_0$. А это ровно и означает, что достаточно малая окрестность образа $w_0$ содержится в образе некоторой окрестности точки $z_0$.

Правда, сам Шабат в вопросе об обратной функции проявляет некоторое легкомыслие. Сразу же после определения производной он говорит:

Цитата:
Поэтому в комплексный анализ без всяких изменений переносятся элементарные правила дифференцирования (дифференцирование суммы, произведения, частного, сложной и обратной функции); мы не останавливаемся на их формулировках и доказательствах.

Так вот: если доказательства первых четырёх свойств действительно переносятся один к одному, то с последним дело обстоит сложнее. Проблема в том, что эта теорема утверждает не только формулу для производной обратной функции (с которой всё действительно тривиально), но и существование обратной, и вот с существованием-то приходится повозиться. Во-первых, теорема об обратной функции требует (в отличие от предыдущих) не просто дифференцируемости, а непрерывной дифференцируемости, которой пока нет -- она появится гораздо позже, когда Шабат докажет теорему Коши и затем интегральные формулы Коши. Во-вторых (и в главных), теорема об обратной функции в комплексном варианте опирается (опять же в отличие от предыдущих) не на одномерную, а на двумерную аналогичную вещественную теорему. В-третьих, в комплексном варианте эта теорема обобщается (как было выше намёкнуто) с соответствующими оговорками на любые точки, а не только на те, в которых производная не равна нулю. То ли я не заметил, то ли Шабат теорему об обратной функции действительно нигде не обсуждает.

Ну как бы там ни было -- теорема эта всё-таки верна и гораздо принципиальнее и элементарнее, чем теорема Руше (для формального её доказательства достаточно в лоб применить принцип сжимающих отображений).

 Профиль  
                  
 
 Re: неизоморфность проколотого диска и кольца
Сообщение17.03.2012, 16:04 


10/02/11
6786
ewert в сообщении #549293 писал(а):
То ли я не заметил, то ли Шабат теорему об обратной функции действительно нигде не обсуждает.

обсуждает сразу после теоремы о сохранении области. И доказывает теорему об обратной функции тоже из теоремы Руше. Я раньше туда просто не смотрел, доказывать теорему об обратной функции из теоремы Руше это не есть хорошо.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 17 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: Модераторы, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group