Вариационное исчисление. Несколько вопросов.

[freedom_of_heart]

Допустим мы ищем экстремаль функционала

$F(\dot x,x)=\displaystyle\int_{t_0}^{t_1}L(\dot x,x,t)dt $

1) Что значит подвижные концы и чем они отличаются от закрепленных?

Мое предположение. Закрепленные это такие.

$x(t_0)=x_0$

$x(t_1)=x_1$

А подвижные - это когда один из концов не закреплен.

2) Если концы - подвижные -- это, насколько, знаю -- нужно пользоваться условиями трансверсальности.

Но на доступном языке в интернете ничего не нашла на эту тему.

Всегда ли условия трансверсальности одни и те же в этой задаче? Какие они?

3) Какую книжку или что посоветуете почитать на эту тему "для чайников"?

[ИСН]

Можно и без всяких условий. Вот мы решили уравнение с подвижными концами, получили значение функционала. Поскольку концы подвижные (значений в них мы не знаем), это не число, а какое-то хитрое выражение, в которое входят неизвестные $x_0$ и $x_1$. Иными словами, функция. Обычная функция. Функция от двух переменных. Ну а находить экстремум функции - это уже где-то было, правда?

[freedom_of_heart]

ИСН в сообщении #549140 писал(а):

Можно и без всяких условий. Вот мы решили уравнение с подвижными концами, получили значение функционала. Поскольку концы подвижные (значений в них мы не знаем), это не число, а какое-то хитрое выражение, в которое входят неизвестные $x_0$ и $x_1$. Иными словами, функция. Обычная функция. Функция от двух переменных. Ну а находить экстремум функции - это уже где-то было, правда?

Спасибо! Так понятно. Но и условия трансверсальности понять хотелось бы.

А можете придумать несложную задачу, где подвижные концы, попробую найти экстремаль и использовать тот метод, который вы предложили . А потом как-нибудь попробую использовать условия трансверсальности, если узнаю их..

[Hymilev]

Выделяют три типа подвижных концов 1)Конец $t=t_0$ известен, а значение $x(t_0)$-не задано(произвол)
2)Конец $t=t_0$ не задан и значение $x(t_0)$-не задано
(произвол)
3) Конец движется по заданной линии
Так вот в первых двух случаях нужно использовать естественные граничные условия, а в третьем условие трансверсальности
Можно просто использовать необходимое условие экстремума функционала и получить экстремаль
ps. Один из лучших учебников -Эльсгольц Л.Э.
Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление

[freedom_of_heart]

Hymilev в сообщении #549232 писал(а):

Выделяют три типа подвижных концов 1)Конец $t=t_0$ известен, а значение $x(t_0)$-не задано(произвол)
2)Конец $t=t_0$ не задан и значение $x(t_0)$-не задано
(произвол)
3) Конец движется по заданной линии
Так вот в первых двух случаях нужно использовать естественные граничные условия, а в третьем условие трансверсальности
Можно просто использовать необходимое условие экстремума функционала и получить экстремаль
ps. Один из лучших учебников -Эльсгольц Л.Э.
Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление

Спасибо, поняла. Нашла условия трансверсальности там.

$\Big[F+(\psi'-y')F_{y'}\Big]_{x=x_1}=0$

$\Big[F+(\varphi'-y')F_{y'}\Big]_{x=x_0}=0$

Но не нашла естественных граничных условий. Где их можно найти?

[Hymilev]

Оно выглядит так $F_{y'}\Big|_{x=x_0}=0$

[freedom_of_heart]

Hymilev в сообщении #549308 писал(а):

Оно выглядит так $F_{y'}\Big|_{x=x_0}=0$

Спасибо, ясно