2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Вариационное исчисление. Несколько вопросов.
Сообщение16.03.2012, 22:29 
Аватара пользователя
Допустим мы ищем экстремаль функционала

$F(\dot x,x)=\displaystyle\int_{t_0}^{t_1}L(\dot x,x,t)dt $

1) Что значит подвижные концы и чем они отличаются от закрепленных?

Мое предположение. Закрепленные это такие.

$x(t_0)=x_0$

$x(t_1)=x_1$

А подвижные - это когда один из концов не закреплен.

2) Если концы - подвижные -- это, насколько, знаю -- нужно пользоваться условиями трансверсальности.

Но на доступном языке в интернете ничего не нашла на эту тему.

Всегда ли условия трансверсальности одни и те же в этой задаче? Какие они?

3) Какую книжку или что посоветуете почитать на эту тему "для чайников"?

 
 
 
 Re: Вариационное исчисление. Несколько вопросов.
Сообщение16.03.2012, 22:39 
Аватара пользователя
Можно и без всяких условий. Вот мы решили уравнение с подвижными концами, получили значение функционала. Поскольку концы подвижные (значений в них мы не знаем), это не число, а какое-то хитрое выражение, в которое входят неизвестные $x_0$ и $x_1$. Иными словами, функция. Обычная функция. Функция от двух переменных. Ну а находить экстремум функции - это уже где-то было, правда?

 
 
 
 Re: Вариационное исчисление. Несколько вопросов.
Сообщение16.03.2012, 23:13 
Аватара пользователя
ИСН в сообщении #549140 писал(а):
Можно и без всяких условий. Вот мы решили уравнение с подвижными концами, получили значение функционала. Поскольку концы подвижные (значений в них мы не знаем), это не число, а какое-то хитрое выражение, в которое входят неизвестные $x_0$ и $x_1$. Иными словами, функция. Обычная функция. Функция от двух переменных. Ну а находить экстремум функции - это уже где-то было, правда?


Спасибо! Так понятно. Но и условия трансверсальности понять хотелось бы.

А можете придумать несложную задачу, где подвижные концы, попробую найти экстремаль и использовать тот метод, который вы предложили . А потом как-нибудь попробую использовать условия трансверсальности, если узнаю их..

 
 
 
 Re: Вариационное исчисление. Несколько вопросов.
Сообщение17.03.2012, 08:55 
Выделяют три типа подвижных концов 1)Конец $t=t_0$ известен, а значение $x(t_0)$-не задано(произвол)
2)Конец $t=t_0$ не задан и значение $x(t_0)$-не задано
(произвол)
3) Конец движется по заданной линии
Так вот в первых двух случаях нужно использовать естественные граничные условия, а в третьем условие трансверсальности
Можно просто использовать необходимое условие экстремума функционала и получить экстремаль
ps. Один из лучших учебников -Эльсгольц Л.Э.
Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление

 
 
 
 Re: Вариационное исчисление. Несколько вопросов.
Сообщение17.03.2012, 13:39 
Аватара пользователя
Hymilev в сообщении #549232 писал(а):
Выделяют три типа подвижных концов 1)Конец $t=t_0$ известен, а значение $x(t_0)$-не задано(произвол)
2)Конец $t=t_0$ не задан и значение $x(t_0)$-не задано
(произвол)
3) Конец движется по заданной линии
Так вот в первых двух случаях нужно использовать естественные граничные условия, а в третьем условие трансверсальности
Можно просто использовать необходимое условие экстремума функционала и получить экстремаль
ps. Один из лучших учебников -Эльсгольц Л.Э.
Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление


Спасибо, поняла. Нашла условия трансверсальности там.

$\Big[F+(\psi'-y')F_{y'}\Big]_{x=x_1}=0$

$\Big[F+(\varphi'-y')F_{y'}\Big]_{x=x_0}=0$

Но не нашла естественных граничных условий. Где их можно найти?

 
 
 
 Re: Вариационное исчисление. Несколько вопросов.
Сообщение17.03.2012, 14:12 
Оно выглядит так $F_{y'}\Big|_{x=x_0}=0$

 
 
 
 Re: Вариационное исчисление. Несколько вопросов.
Сообщение21.03.2012, 14:05 
Аватара пользователя
Hymilev в сообщении #549308 писал(а):
Оно выглядит так $F_{y'}\Big|_{x=x_0}=0$


Спасибо, ясно :D

 
 
 [ Сообщений: 7 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group