2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 a/b+b/c+c/a
Сообщение11.03.2012, 23:53 
Заслуженный участник


03/12/07
379
Україна
$a,b,c,$ - натуральные числа. Какие целые значения может принимать выражение $\frac {a}{b}+\frac {b}{c}+\frac {c}{a}$ ?

 Профиль  
                  
 
 Re: a/b+b/c+c/a
Сообщение12.03.2012, 09:22 


31/12/10
1555
При $a=b=c, \; \Sigma = 3.$

 Профиль  
                  
 
 Re: a/b+b/c+c/a
Сообщение12.03.2012, 10:33 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


13/08/08
14496
Ну 5 тоже бросается в глаза. А вот ещё...

 Профиль  
                  
 
 Re: a/b+b/c+c/a
Сообщение12.03.2012, 14:39 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/05/06
13440
с Территории
Обнаружил $\{2,36,81\} \to 41$. Зачем оно? Откуда?
Дальше боюсь.

 Профиль  
                  
 
 Re: a/b+b/c+c/a
Сообщение12.03.2012, 14:47 
Заслуженный участник


02/08/10
629
Свёл к тому, что
$a=x^2y$
$b=y^2z$
$c=z^2x$,
где $x,y,z -$ взаимнопростые, $x^3+y^3+z^3 = nxyz , \ n -$ искомое число
В примере ИСН'a $ \ x=1, \ y=2, \ z=9 $
Вот они:
http://oeis.org/A072716
Открытая проблема, как я понял)

 Профиль  
                  
 
 Re: a/b+b/c+c/a
Сообщение12.03.2012, 18:43 
Заблокирован


16/06/09

1547
Возьмём $a=2$, тогда получим $\dfrac{2c+b^2}{bc}+\dfrac c2$ - целое. Если $c$ - чётно, то это ведёт к разрешимости в целых числах некоего уравнения $\dfrac{c+m^2}{cm}=k$. Но оно неразрешимо, поэтому $c$ - нечётно.

Если $c$ - нечётно, то $\dfrac{2c+b^2}{bc}=k+\dfrac 12$. Откуда $b$ - чётно. И дальше надо думать.

 Профиль  
                  
 
 Re: a/b+b/c+c/a
Сообщение12.03.2012, 19:03 
Заслуженный участник


20/12/10
9179
Потребуем дополнительно, чтобы число $c$ было простым и $\equiv 2 \pmod{3}$. В таком случае задача станет вполне решаемой.

 Профиль  
                  
 
 Re: a/b+b/c+c/a
Сообщение13.03.2012, 12:27 


05/10/10
74
$x=a/b, y=b/c, 1/xy=c/a; x^{2}y+xy^{2}-nxy+1=0$
и дальше запах эллиптических кривых

 Профиль  
                  
 
 Re: a/b+b/c+c/a
Сообщение14.03.2012, 03:19 
Модератор
Аватара пользователя


11/01/06
5710
См. http://www.math.niu.edu/~rusin/research-math/abcn/

 Профиль  
                  
 
 a/b+b/c+c/d+d/a
Сообщение15.03.2012, 10:57 
Заслуженный участник


03/12/07
379
Україна
$a,b,c,d,m$ - натуральные числа. Возможно ли равенство $\frac {a}{b}+\frac {b}{c}+\frac {c}{d}+\frac {d}{a}=8m$ ?

 Профиль  
                  
 
 Re: a/b+b/c+c/a
Сообщение17.03.2012, 18:31 
Заслуженный участник


12/08/10
1718
А как доказать что $\frac {a}{b}+\frac {b}{c}+\frac {c}{a}\neq 4$ при натуральных $a,b,c$?

 Профиль  
                  
 
 Re: a/b+b/c+c/a
Сообщение17.03.2012, 19:27 


11/02/12
36
Null в сообщении #549430 писал(а):
А как доказать что $\frac {a}{b}+\frac {b}{c}+\frac {c}{a}\neq 4$ при натуральных $a,b,c$?


пусть это верно тогда пусть Нод(a,b,c)=1

a2c+b2a+c2b=4abc,тогда если смотреть модулё 4,то вытекает что у них есть нод(a,b,c)>=2

Извини если не верно

Оффтоп:я где то видел,что в неравенствах фиксируют все переменные кроме одной,а потом находят производную,можно ли это во всех неравенствах делать?

 Профиль  
                  
 
 Re: a/b+b/c+c/a
Сообщение17.03.2012, 20:17 
Заслуженный участник


02/08/10
629
griboedovaa в сообщении #549452 писал(а):
Оффтоп:я где то видел,что в неравенствах фиксируют все переменные кроме одной,а потом находят производную,можно ли это во всех неравенствах делать?

(Оффтоп)

Это называется частной производной. Можно, если переменные независимые. То-есть, если есть какое-нибудь дополнительное условие, типа $x^2+y^2+z^2=3$, уже нельзя будет зафиксировать все переменные, кроме одной.

 Профиль  
                  
 
 Re: a/b+b/c+c/a
Сообщение30.03.2012, 17:40 
Заслуженный участник


17/09/10
2158
Интересно то, что уравнения вместе с упомянутымми имеют одну и то же подоплеку.
$(x+y+z)(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z})=N$
$(x+y+z)xyz=N^2$

 Профиль  
                  
 
 Re: a/b+b/c+c/a
Сообщение19.04.2012, 10:12 
Заслуженный участник


17/09/10
2158
Задача. Найти бесконечную серию решений уравнения $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}+\frac{1}{w}+\frac{1}{xyzw}=0$ в целых числах.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 19 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: YandexBot [bot]


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group