a/b+b/c+c/a

[Edward_Tur]

$a,b,c,$ - натуральные числа. Какие целые значения может принимать выражение $\frac {a}{b}+\frac {b}{c}+\frac {c}{a}$ ?

[vorvalm]

При $a=b=c, \; \Sigma = 3.$

[gris]

Ну 5 тоже бросается в глаза. А вот ещё...

[ИСН]

Обнаружил $\{2,36,81\} \to 41$. Зачем оно? Откуда?
Дальше боюсь.

[MrDindows]

Свёл к тому, что
$a=x^2y$
$b=y^2z$
$c=z^2x$,
где $x,y,z -$ взаимнопростые, $x^3+y^3+z^3 = nxyz , \ n -$ искомое число
В примере ИСН'a $ \ x=1, \ y=2, \ z=9 $
Вот они:
http://oeis.org/A072716
Открытая проблема, как я понял)

[temp03]

Возьмём $a=2$, тогда получим $\dfrac{2c+b^2}{bc}+\dfrac c2$ - целое. Если $c$ - чётно, то это ведёт к разрешимости в целых числах некоего уравнения $\dfrac{c+m^2}{cm}=k$. Но оно неразрешимо, поэтому $c$ - нечётно.

Если $c$ - нечётно, то $\dfrac{2c+b^2}{bc}=k+\dfrac 12$. Откуда $b$ - чётно. И дальше надо думать.

[nnosipov]

Потребуем дополнительно, чтобы число $c$ было простым и $\equiv 2 \pmod{3}$. В таком случае задача станет вполне решаемой.

[Naf2000]

$x=a/b, y=b/c, 1/xy=c/a; x^{2}y+xy^{2}-nxy+1=0$
и дальше запах эллиптических кривых

[maxal]

См. http://www.math.niu.edu/~rusin/research-math/abcn/

[Edward_Tur]

$a,b,c,d,m$ - натуральные числа. Возможно ли равенство $\frac {a}{b}+\frac {b}{c}+\frac {c}{d}+\frac {d}{a}=8m$ ?

[Null]

А как доказать что $\frac {a}{b}+\frac {b}{c}+\frac {c}{a}\neq 4$ при натуральных $a,b,c$?

[griboedovaa]

Null в сообщении #549430 писал(а):

А как доказать что $\frac {a}{b}+\frac {b}{c}+\frac {c}{a}\neq 4$ при натуральных $a,b,c$?

пусть это верно тогда пусть Нод(a,b,c)=1

a2c+b2a+c2b=4abc,тогда если смотреть модулё 4,то вытекает что у них есть нод(a,b,c)>=2

Извини если не верно

Оффтоп:я где то видел,что в неравенствах фиксируют все переменные кроме одной,а потом находят производную,можно ли это во всех неравенствах делать?

[MrDindows]

griboedovaa в сообщении #549452 писал(а):

Оффтоп:я где то видел,что в неравенствах фиксируют все переменные кроме одной,а потом находят производную,можно ли это во всех неравенствах делать?

(Оффтоп)

Это называется частной производной. Можно, если переменные независимые. То-есть, если есть какое-нибудь дополнительное условие, типа $x^2+y^2+z^2=3$, уже нельзя будет зафиксировать все переменные, кроме одной.

[scwec]

Интересно то, что уравнения вместе с упомянутымми имеют одну и то же подоплеку.
$(x+y+z)(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z})=N$
$(x+y+z)xyz=N^2$

[scwec]

Задача. Найти бесконечную серию решений уравнения $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}+\frac{1}{w}+\frac{1}{xyzw}=0$ в целых числах.