Характеристическая функция канторова распределения

[radiusR]

Здравствуйте! Прошу помочь разобраться в следующем вопросе:

Имеется функция распределения $F_\xi(x) = \left\lbrace\begin{array}{c c}{0,\, x < 0} \\ {1,\, x > 1} \\{K(x), \,x \in [0, 1]}{\end{array}}\right$ где $K(x)$ - лестница Кантора. Необходимо найти характеристическую функцию $\varphi(x) = Me^{it\xi}$ случайной величины $\xi$, заданной данным распределением. Изучив некоторую литературу (в частности, Феллера), выяснил, что такая случайная величина представляется с помощью последовательности независимых случайных величин $\xi_1, \xi_2 ... \xi_n ...$, каждая из которых принимает значения $0, 1 $ с вероятностью $1/2$ в следующем виде:

$$\xi = 2\sum_{j=1}^\infty \frac 1 {3^j}\xi_j$$

Думаю, это верный путь, так как данная величина имеет сингулярное распределение, поэтому с плотностью работать не выйдет. Но, сожалению, я так и не понял до конца, почему мы можем представить величиную в таком виде, соответственно, дальше мои попытки найти характеристическую функцию не увенчались успехом. Заранее спасибо!

[ИСН]

Ну как. У нас плотность вероятности (обобщённая; в обычном-то смысле её нет) размазана по канторову множеству. Вот мы как бы говорим своей величине ($\xi$): с вероятностью 1/2 иди-ка либо в верхнюю треть отрезка, либо в нижнюю. (За это отвечает слагаемое $\xi_1$.) Потом внутри каждой трети...

[radiusR]

Спасибо, но думается мне, что это слишком интуитивное обоснование. Не подскажете, как можно более корректно доказать, что данная случайная величина имеет именно такую функцию распределения?

[ИСН]

Интуитивное? По-моему, всё совершенно строго. Какая вероятность у величины оказаться в верхней трети? 1/2. Теперь тот же вопрос про сумму. Очевидно, это определяется значением $\xi_1$, потому что остальная мелочь, вместе взятая, ни при каких обстоятельствах не превосходит 1/3. А $\xi_1$ у нас, как известно - - -

[ShMaxG]

Эта тема, хоть она и находится в тематическом разделе, до конца не разрешена, т.к. характеристическая функция не построена.

Верно ли, что

$$\[{\mathbf{E}}{e^{it\frac{2}{{{3^k}}}{\xi _k}}} = \frac{1}{2} + \frac{1}{2}{e^{it\frac{2}{{{3^k}}}}} = \frac{1}{2}\left( {1 + {e^{\frac{{2it}}{{{3^k}}}}}} \right) = {e^{\frac{{it}}{{{3^k}}}}}\cos \left( {\frac{t}{{{3^k}}}} \right)\]$$

откуда

$$\[{\varphi _\xi }\left( t \right) = {\mathbf{E}}{e^{it\xi }} = \prod\limits_{k = 1}^\infty {{\mathbf{E}}{e^{it\frac{2}{{{3^k}}}{\xi _k}}}} = \mathop {\lim }\limits_{K \to \infty } \prod\limits_{k = 1}^K {{e^{\frac{{it}}{{{3^k}}}}}\cos \left( {\frac{t}{{{3^k}}}} \right)} = {e^{it/2}}\prod\limits_{k = 1}^\infty {\cos \left( {\frac{t}{{{3^k}}}} \right)} \]$$

-- Сб ноя 03, 2012 00:35:42 --

Собственно, у меня есть еще вопрос. Как можно понять (и где почитать), что математическое ожидание произведения бесконечного числа независимых в совокупности случайных величин равно произведению соотв. матожиданий (быть может с еще какими доп. условиями)?

[AKM]

Тема перемещена из форума «Вероятность, статистика» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»
Причина переноса: не указана.