Здравствуйте! Прошу помочь разобраться в следующем вопросе:
Имеется функция распределения
![$F_\xi(x) = \left\lbrace\begin{array}{c c}{0,\, x < 0} \\ {1,\, x > 1} \\{K(x), \,x \in [0, 1]}{\end{array}}\right$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/d/f/5dfb0b7de98546ca78e428024393fa5182.png "$F_\xi(x) = \left\lbrace\begin{array}{c c}{0,\, x < 0} \\ {1,\, x > 1} \\{K(x), \,x \in [0, 1]}{\end{array}}\right$")
где
- лестница Кантора. Необходимо найти характеристическую функцию
случайной величины
, заданной данным распределением. Изучив некоторую литературу (в частности, Феллера), выяснил, что такая случайная величина представляется с помощью последовательности независимых случайных величин
, каждая из которых принимает значения
с вероятностью
в следующем виде:
Думаю, это верный путь, так как данная величина имеет сингулярное распределение, поэтому с плотностью работать не выйдет. Но, сожалению, я так и не понял до конца, почему мы можем представить величиную в таком виде, соответственно, дальше мои попытки найти характеристическую функцию не увенчались успехом. Заранее спасибо!
13.03.2012, 19:40 
.) Потом внутри каждой трети...
По-моему, всё совершенно строго. Какая вероятность у величины оказаться в верхней трети? 1/2. Теперь тот же вопрос про сумму. Очевидно, это определяется значением 
![$$\[{\mathbf{E}}{e^{it\frac{2}{{{3^k}}}{\xi _k}}} = \frac{1}{2} + \frac{1}{2}{e^{it\frac{2}{{{3^k}}}}} = \frac{1}{2}\left( {1 + {e^{\frac{{2it}}{{{3^k}}}}}} \right) = {e^{\frac{{it}}{{{3^k}}}}}\cos \left( {\frac{t}{{{3^k}}}} \right)\]$$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/c/3/c/c3c68ae113022b11875e27041f32688782.png "$$\[{\mathbf{E}}{e^{it\frac{2}{{{3^k}}}{\xi _k}}} = \frac{1}{2} + \frac{1}{2}{e^{it\frac{2}{{{3^k}}}}} = \frac{1}{2}\left( {1 + {e^{\frac{{2it}}{{{3^k}}}}}} \right) = {e^{\frac{{it}}{{{3^k}}}}}\cos \left( {\frac{t}{{{3^k}}}} \right)\]$$")
![$$\[{\varphi _\xi }\left( t \right) = {\mathbf{E}}{e^{it\xi }} = \prod\limits_{k = 1}^\infty {{\mathbf{E}}{e^{it\frac{2}{{{3^k}}}{\xi _k}}}} = \mathop {\lim }\limits_{K \to \infty } \prod\limits_{k = 1}^K {{e^{\frac{{it}}{{{3^k}}}}}\cos \left( {\frac{t}{{{3^k}}}} \right)} = {e^{it/2}}\prod\limits_{k = 1}^\infty {\cos \left( {\frac{t}{{{3^k}}}} \right)} \]$$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/b/f/8/bf8f32a09a6c85ca486313596e85575982.png "$$\[{\varphi _\xi }\left( t \right) = {\mathbf{E}}{e^{it\xi }} = \prod\limits_{k = 1}^\infty {{\mathbf{E}}{e^{it\frac{2}{{{3^k}}}{\xi _k}}}} = \mathop {\lim }\limits_{K \to \infty } \prod\limits_{k = 1}^K {{e^{\frac{{it}}{{{3^k}}}}}\cos \left( {\frac{t}{{{3^k}}}} \right)} = {e^{it/2}}\prod\limits_{k = 1}^\infty {\cos \left( {\frac{t}{{{3^k}}}} \right)} \]$$")
