Найти транспонированный оператор.

[Kitozavr]

Не могу найти оператор, транспонированный к оператору отражения $\hat{f} \psi (x) = \psi (-x)$.
Пробовал из определения транспонированного оператора

$$ \int \varphi (x) \hat{f} \psi (x) dx = \int \psi (x) \tilde{ \hat{f}} \varphi (x) dx $$

Дальше как ни крути не могу получить выражение типа $\tilde{ \hat{f}} \psi = ...$ без фи в правой части.
Подскажите что-нибудь, пожалуйста.

[ewert]

Оператор отражения унитарен. Оператор, "транспонированный" к унитарному, является обратным к нему. А что такое оператор, обратный к оператору отражения?...

Ну или просто сделайте замену переменной $t=-x$.

[Munin]

Принято обозначать $\varphi$ скаляр, а $\psi$ спинор. В случае спинора оператор отражения не только перемещает значения функции из одной точки в другую, но и влияет на компоненты. И здесь как раз надо быть внимательным. Оператор, обратный к оператору отражения, не совпадает с ним, а отличается на множитель -1.

[Kitozavr]

Munin в сообщении #548047 писал(а):

Принято обозначать $\varphi$ скаляр, а $\psi$ спинор.

У меня это две функции от x. В ЛЛ 3 тоже фи и пси, но заглавные, там же не имеются ввиду скаляр и спинор?

Munin в сообщении #548047 писал(а):

Оператор, обратный к оператору отражения, не совпадает с ним, а отличается на множитель -1.

А у меня получилось, что совпадает: $ \hat{f}^{-1} \hat{f} \psi (x) = \psi (x) \Rightarrow \hat{f}^{-1}\psi (-x) =\psi (x)$, то есть та же самая смена знака. Где я не прав?

ewert в сообщении #547966 писал(а):

Ну или просто сделайте замену переменной $t=-x$.

Сделал в интеграле, но это мне ничего не дало.

[Munin]

Kitozavr в сообщении #548054 писал(а):

В ЛЛ 3 тоже фи и пси, но заглавные, там же не имеются ввиду скаляр и спинор?

В ЛЛ 3 не имеются. В ЛЛ 4 уже имеются. В более сурьёзной литературе по теории поля почти всегда так. Если вы на "пограничной территории", уточняйте обозначения.

Kitozavr в сообщении #548054 писал(а):

А у меня получилось, что совпадает

Ещё раз, для скалярной функции - совпадает. Потому что скалярная функция - это то же самое, что спин 0. Целый. Если целый спин повернуть на 360°, получится то же самое. А вот если полуцелый повернуть на 360°, добавится множитель -1. Два отражения эквивалентны повороту на 360°, поэтому "обратное отражение" для полуцелого спина не равно отражению, а отличается от него на множитель -1 (или на комплексное сопряжение, что здесь одно и то же).

[ewert]

Munin в сообщении #548047 писал(а):

В случае спинора оператор отражения не только перемещает значения функции из одной точки в другую, но и влияет на компоненты.

Запись $\hat{f} \psi (x) = \psi (-x)$ в точности означает, что этот оператор тупо "перемещает", и ничего более. (Пусть даже эта запись и формально некорректна; но ничего иного она означать не может.)

[Munin]

ewert в сообщении #548122 писал(а):

Запись $\hat{f} \psi (x) = \psi (-x)$ в точности означает, что этот оператор тупо "перемещает", и ничего более.

Да, я знаю. Я объясняю, как дело обстоит с настоящим оператором отражения.

ewert в сообщении #548122 писал(а):

Пусть даже эта запись и формально некорректна

Вполне корректна, в той математической нотации, которая принята в физике. И в большей части математики.

[ewert]

(Оффтоп)

Munin в сообщении #548138 писал(а):

Я объясняю, как дело обстоит с настоящим оператором отражения.

Это замечательно, но это явно не имеет отношения к поставленному вопросу.

[Kitozavr]

Вернемся к нашим баранам.
Как найти транспонированый оператор, если не использовать свойство унитарности?

[Munin]

Поскольку равенство должно выполняться для произвольных вторых сомножителей, то обычно ими перебирают базис.

[ewert]

Kitozavr в сообщении #548245 писал(а):

Как найти транспонированый оператор, если не использовать свойство унитарности?

ewert в сообщении #547966 писал(а):

просто сделайте замену переменной $t=-x$

[Kitozavr]

После замены получилось

$$ \int \varphi (-t) \hat{f} \psi (-t) dt = \int \psi (-t) \tilde{\hat{f}} \varphi (-t) dt$$

Дальше я приравнял подынтегральные выражения, но избавиться от $\varphi$ не смог. Наверно, я не вижу какого-то очевидного хода?

[ewert]

Kitozavr в сообщении #548681 писал(а):

Наверно, я не вижу какого-то очевидного хода?

Наверное. Уберите вообще из исходного интеграла этот несчастный оператор (в смысле расшифруйте его), потом сделайте замену и потом опять вставьте.

[Kitozavr]

ewert в сообщении #548766 писал(а):

Уберите вообще из исходного интеграла этот несчастный оператор (в смысле расшифруйте его)

$$ \int \varphi (x) \psi (-x) dx = \int \psi (x) \tilde{ \hat{f}} \varphi (x) dx$$

ewert в сообщении #548766 писал(а):

потом сделайте замену

$$ \int \varphi (-t) \psi (t) dt = \int \psi (-t) \tilde{ \hat{f}} \varphi (-t) dt$$

ewert в сообщении #548766 писал(а):

потом сделайте замену и потом опять вставьте.

Здесь проблема. Наверно, его надо вставить так, чтобы сократилось $\psi (x)$, но я никак не пойму куда.

[espe]

Если я правильно помню математику, то есть такая лемма (теорема), что если для любой функции $\psi(x)$ выполняется

$$\int_a^b\psi(x)\varphi(x)dx=0,$$

то $\varphi(x)=0$ при $x\in[a,b]$. Это есть способ "сократить" на $\psi(x)$.