Функции, которые не имеют нулей

[analitik777]

Подскажите какие-нибудь функции, кроме экспоненты, которые не имеют нулей ни действительных, ни комплексных.

[Александрович]

Синусоида приподнятая.

[Sonic86]

analitik777 в сообщении #547863 писал(а):

Подскажите какие-нибудь функции, кроме экспоненты, которые не имеют нулей ни действительных, ни комплексных.

Если функция целая и не имеет нулей, то она имеет вид $\exp (f(z))$. См. Леонтьев Целые функции.

[Профессор Снэйп]

analitik777 в сообщении #547863 писал(а):

Подскажите какие-нибудь функции, кроме экспоненты, которые не имеют нулей ни действительных, ни комплексных.

1) $f(z) = 1$.
2) $f(z) = | z | + 1$.
3) $f(z) = 1/z$.

-- Вт мар 13, 2012 10:30:35 --

Sonic86 в сообщении #547872 писал(а):

Если функция целая и не имеет нулей...

Да вроде ТС не требовал, чтобы функция была целой.

[Sonic86]

(Оффтоп)

Профессор Снэйп в сообщении #547877 писал(а):

Да вроде ТС не требовал, чтобы функция была целой.

Ну вдруг потребует Может он это имел ввиду, вряд ли его константа заинтересует...

[Профессор Снэйп]

(Оффтоп)

Sonic86 в сообщении #547882 писал(а):

Может он это имел ввиду, вряд ли его константа заинтересует...

Хм... Моих телепатических способностей здесь явно недостаточно

[ewert]

Профессор Снэйп в сообщении #547920 писал(а):

Моих телепатических способностей здесь явно недостаточно

Если речь не идёт об аналитических функциях, то какой смысл могло бы иметь словосочетание "комплексные нули"?...

[Профессор Снэйп]

ewert в сообщении #547952 писал(а):

Если речь не идёт об аналитических функциях, то какой смысл могло бы иметь словосочетание "комплексные нули"?...

Самое прямое. А именно, точки комплексной плоскости, в которых функция обращается в ноль. Ведь для того, чтобы функция принимала нулевое значение, она не обязана быть аналитической.

[ewert]

Профессор Снэйп в сообщении #547973 писал(а):

Ведь для того, чтобы функция принимала нулевое значение, она не обязана быть аналитической.

Если она не аналитическая, то и комплексные числа тут совсем не при чём. Просто векторная функция векторного аргумента.

[Профессор Снэйп]

ewert в сообщении #547978 писал(а):

Если она не аналитическая, то и комплексные числа тут совсем не при чём. Просто векторная функция векторного аргумента.

Но почему её нельзя называть комплекснозначной функцией от комплексного аргумента?

Хотя в условии и про тип аргумента ничего не сказано. Так что годится и такой ответ: любая функция из $\varnothing$ в $\mathbb{C}$ (благо она там единственна ).

[ewert]

Профессор Снэйп в сообщении #547980 писал(а):

Но почему её нельзя называть комплекснозначной функцией от комплексного аргумента?

Можно, если очень уж захочется. Но совершенно бесполезно.

-- Вт мар 13, 2012 16:10:04 --

Профессор Снэйп в сообщении #547980 писал(а):

Хотя в условии и про тип аргумента ничего не сказано.

Сказано. Нули -- это аргументы.

[Профессор Снэйп]

ewert в сообщении #547983 писал(а):

Но совершенно бесполезно.

Но ведь можно!

ewert в сообщении #547983 писал(а):

Сказано. Нули -- это аргументы.

Тип аргумента - это, грубо говоря, множество, подмножеством которого является область определение функции. То есть если дана функция $f : A \to B$, то тип аргументов - это природа элементов множества $A$. При $A = \mathbb{N}$ говорим о функции с натуральными аргументами, при $A = \mathbb{C}$ - о функции с комплексными аргументами и т. п.

То, что корни - это аргументы функции, любому баобабу понятно. Насчёт пресловутых "нулей" не уверен. Но уверен лишь в одном: в задаче требуется привести пример функции из произвольного множества в множество $\mathbb{C}$, у которой $0$ не принадлежит области значений. При этом про то, что будет являться областью определения функции из примера и какими дополнительными свойствами должна обладать эта функция, ничего не говорится!

[gris]

В условии говорится, что функция не должна иметь действительных или комплексных нулей. То есть $0$ вполне может принадлежать области значений, лишь бы в него не отображалось ничего действительного или комплексного.
Мне кажется, что я расширил решение многоуважаемого Профессора Снэйпа! :раздувшись от непомерной гордости:

[Профессор Снэйп]

gris в сообщении #547995 писал(а):

То есть 0 вполне может принадлежать области значений, лишь бы в него не отображалось ничего действительного или комплексного.

Ну да, так, наверное, тоже можно

[ewert]

Профессор Снэйп в сообщении #547992 писал(а):

То, что корни - это аргументы функции, любому баобабу понятно. Насчёт пресловутых "нулей" не уверен.

Будьте уверены. А вот корнями их называть, в общем-то, не принято.