Пулукольцо, кольцо, алгебра, сигма-алгебра

[LaTeXScience]

В абстрактной алгебре есть алгебраические структуры, которые называют полукольцом, кольцом, алгеброй над кольцом (насчет $\sigma$-алгебры не знаю). В книжках по теории меры или функциональному анализу определяют системы множеств, которые называют точно так же (кроме алгебры над кольцом, там она просто алгеброй и $\sigma$-алгеброй называется). Собственно, есть ли тут какая-то логическая связь или это просто бессмысленное совпадение в названиях? Можно ли, например, сказать, что кольцо (система множеств) -- это кольцо (алгебраическая структура) с заданными какими-то теоретико-множественными двумя операциями?

[LaTeXScience]

Похоже я туплю. Связь есть. По крайней мере между кольцами.
Получается, что кольцо множеств $X$ -- это кольцо (алгебраическая структура) $(X,\bigtriangleup,\cap)$, где $X$ должно быть системой множеств. Почему тогда в книжках так не пишут?
Между остальным понятиями я пока связи не вижу.

[wallflower]

post534905.html

[muzeum]

В связи с последней ссылкой:
Наиболее общее понятие алгебры (в теории алгебраических систем и универсальной алгебре) - это алгебраическая система в сигнатуре которой нет предикатных символов (т.е. операции и константы). Это терминология сложившаяся в русскоязычной литературе в 60-е годы (см. А.И.Мальцев, Алгебраические системы). Слово "структура" появилось раньше и может иметь две различных по форме, но одинаковых в существе трактовки: как упорядоченное множество, удовлетворяющее некоторым условиям (это т.н. "модель" - алгебраическая система без символов операций и констант, т.е. только предикаты) или как алгебра (с операциями), тоже удовлетворяющая некоторым свойствам. Одинаковость трактовок определяется тем, что в "модельной" струтуре определимы операции, которые делают ее структурой алгебраической и наоборот.
Что касается алгебр над полями, то это история более ранняя (конец 19 - начало 20 веков). Такие алгебры в теории алгебраических систем можно либо определять как многосновные алгебры или (как обычно и поступают) как системы с внешними операциями.
Сигма алгебра алгебраической системой не является, т.к. в ней имеется "бесконечноместная операция".

[LaTeXScience]

wallflower

(Оффтоп)

Странно, что у нас почти в одно время возник один и тот же вопрос.
Кстати, где Вы встретили поле множеств?
И еще кстати, кольцо с единицей -- это не поле, вообще говоря.

Спасибо. Получается, что алгебра множеств $X \subset 2^M$ -- это булева алгебра $\left( X,\cup,\cap,\complement,\emptyset,M \right)$.
Относительно полуколец и $\sigma$-алгебр вопрос пока остается открытым.

-- 12.03.2012, 01:29 --

muzeum в сообщении #547510 писал(а):

Сигма алгебра алгебраической системой не является, т.к. в ней имеется "бесконечноместная операция".

Хорошо, тогда вопрос про $\sigma$-кольца и $\sigma$-алгебры снимается.

(Оффтоп)

Но все равно интересно почему именно $\sigma$, а не, например, $\psi$ или еще что-нибудь? Неужели $\sigma$ исторически символизирует счетность, типа как $\varepsilon$ символизирует малое число?

Остаются тогда только полукольца. Пока не могу сообразить, что там будет операцией сложения.

[apriv]

LaTeXScience в сообщении #547565 писал(а):

Относительно полуколец и $\sigma$-алгебр вопрос пока остается открытым.

А что, $\sigma$-алгебра — это алгебра с дополнительным условием, и буковка $\sigma$ действительно символизирует счетность. Полукольцо — это кольцо без какого-то условия. А писать об этом в некоторых учебниках не принято, потому что традиция в анализе такая — по возможности не ссылаться на алгебру; по этой же причине в большинстве учебников математического анализа для простых людей нельзя встретить слова «кольцо», «идеал» и «гомоморфизм».

[LaTeXScience]

apriv в сообщении #547572 писал(а):

Полукольцо — это кольцо без какого-то условия.

Ага, в полукольце может не быть отрицательных элементов. Но мы не можем сказать, что полукольцо множеств $X$ -- это полукольцо $(X,\bigtriangleup,\cap)$, потому что замкнутость $X$ относительно $\bigtriangleup$ автоматически влечет за собой наличие отрицательных элементов, да и вообще это будет кольцо. Тут нужна какая-то другая операция, не симметрическая разность. Вот только я пока не могу понять какая.

apriv в сообщении #547572 писал(а):

А писать об этом в некоторых учебниках не принято, потому что традиция в анализе такая — по возможности не ссылаться на алгебру; по этой же причине в большинстве учебников математического анализа для простых людей нельзя встретить слова «кольцо», «идеал» и «гомоморфизм».

Ну на линейные пространства они же в функциональном анализе ссылаются ведь и не изобретают велосипед.

А какие Вы можете назвать учебники не ``для простых людей''?

[bot]

LaTeXScience в сообщении #547576 писал(а):

Ага, в полукольце может не быть отрицательных элементов.

Вообще-то их и в кольце нету. Без отношения порядка (хотя бы частичного) бессмысленно говорить об отрицательности или положительности. Другое дело, что полукольцо по сложению образует только моноид и его элементы не обязаны иметь противоположный.

[wallflower]

(Оффтоп)

LaTeXScience в сообщении #547565 писал(а):

Кстати, где Вы встретили поле множеств?

Рид--Саймон "Функциональный анализ", Wikipedia.

[LaTeXScience]

bot в сообщении #547578 писал(а):

LaTeXScience в сообщении #547576 писал(а):

Ага, в полукольце может не быть отрицательных элементов.

Вообще-то их и в кольце нету. Без отношения порядка (хотя бы частичного) бессмысленно говорить об отрицательности или положительности. Другое дело, что полукольцо по сложению образует только моноид и его элементы не обязаны иметь противоположный.

Да, спасибо, я что-то перемудрил.

[LaTeXScience]

(Оффтоп)

apriv в сообщении #547572 писал(а):

буковка $\sigma$ действительно символизирует счетность.

А вот скорей всего нет. Например, есть еще такая штука как $\delta$-кольцо (Антоневич, Радыно ``Функциональный анализ и интегральные уравнения'' и в википедии тоже встречалось), т.е. замкнутое относительно операции счетного пересечения кольцо. Так что, наверное $\sigma$ символизирует просто сумму, а $\delta$ -- разность.

-- 12.03.2012, 13:15 --

Согласно книге Владимирова Д. А. ``Булевы алгебры'' стр. 107, $\sigma$-алгебра -- это $\sigma$-полная булева алгебра.

[wallflower]

(Оффтоп)

LaTeXScience в сообщении #547640 писал(а):

А вот скорей всего нет. Например, есть еще такая штука как $\delta$-кольцо (Антоневич, Радыно ``Функциональный анализ и интегральные уравнения'' и в википедии тоже встречалось), т.е. замкнутое относительно операции счетного пересечения кольцо. Так что, наверное $\sigma$ символизирует просто сумму, а $\delta$ -- разность.

apriv был прав, сигма символизирует счётность. Есть аддитивность, а есть сигма-аддитивность; есть компактность, а есть сигма-компактность и т. д.

Термины с дельтой появились потом, а сама $\delta$, по-видимому, была взята случайно. Ну или там сказались какие-нибудь детские переживания автора.

[LaTeXScience]

(Оффтоп)

wallflower в сообщении #547649 писал(а):

Есть аддитивность, а есть сигма-аддитивность;

Я думаю, что здесь приставка сигма- перешла от соответствующих сигма-систем множеств.

wallflower в сообщении #547649 писал(а):

есть компактность, а есть сигма-компактность

Это не контрпример. Тут все так же как и с системами множеств.

wallflower в сообщении #547649 писал(а):

Термины с дельтой появились потом, а сама $\delta$, по-видимому, была взята случайно. Ну или там сказались какие-нибудь детские переживания автора.

Какого автора? http://www.proofwiki.org/wiki/Definition:Delta-Ring, http://www.proofwiki.org/wiki/Definition:Delta-Algebra

[apriv]

LaTeXScience в сообщении #547576 писал(а):

А какие Вы можете назвать учебники не ``для простых людей''?

Даже и не знаю, есть ли такие. Ну, наверное, Traité d'Analyse Дьедонне, хотя там скорее уже функциональный анализ. Или вот Introduction a L'Algebre et L'Analyse Modernes Замански тоже приличная книжка. Или вот по нестандартному анализу какие-нибудь учебники. Но я не силен в библиографии вообще-то.