erwins, Вам просто надо определиться с тем, насколько общий вопрос Вы задаете. Если Вас интересует только составление рядов для операций суммы и произведения для действительных чисел, то здесь уже все известно - теорема Римана в Фихтенгольце. Если же Вы хотите рассмотреть какие-то более общие операции, то, во-первых, надо указать явно класс групп или полей, где Вы их хотите изучать (может быть Вас ряды из
![$p$ $p$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/e/c/2ec6e630f199f589a2402fdf3e0289d582.png)
-адических чисел заинтересуют), во-вторых, этот класс полей должен иметь определенные ограничения, чтобы там вообще имело смысл это рассматривать.
Вот возьмем
![$\mathbb{Z}_3^{+}$ $\mathbb{Z}_3^{+}$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/a/e/5ae78dc4f388b20b2b9cd8d47066e9a282.png)
- тут есть операция сложения, коммутативная, ассоциативная, в общем все хорошо. Давайте рассмотрим тут какой-нибудь ряд
![$1+2+0+0+2+1+2+0+...$ $1+2+0+0+2+1+2+0+...$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/4/1/6415cb0ac4cfa3804576f5589fc4651982.png)
. Может ли здесь быть определена сумма ряда? Нет конечно, только если
![$n$ $n$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/5/a/55a049b8f161ae7cfeb0197d75aff96782.png)
-й член не стабилизируется на нуле и тогда будет конечная сумма. Та же фигня в конечных группах.
А в неполных группах ряды не сходятся к элементам групп.
Возможно, какие-то еще ограничения нужны. Например, любые ряды в
![$\mathbb{Z}$ $\mathbb{Z}$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/b/9/4/b9477ea14234215f4d516bad55d011b882.png)
, определенные обычным образом, просто расходятся к бесконечности.
Это мы еще даже об условной сходимости говорить не начали.
Понятно?
Это все я достаточно хорошо знаю.
По пунктам
1. пример построен на условносходящемся ряде. В случае
![$\mathbb{Z}$ $\mathbb{Z}$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/b/9/4/b9477ea14234215f4d516bad55d011b882.png)
мы не можем достаточно простым образом построить сходящийся ряд.
2. Пока я рассматриваю полные группы.
3. Я рассмотрел только операцию сложения.
4. Теорема Римана говорит, что это так, но не говорит почему мы теряем коммутативность/ассоциативность сложения. Во всяком случае я не знаю лемму или аксиому из которой это следует.
5.
Мне интересно, в каких еще случаях (алгебрах, группах, множествах...) может вылазить этот эффект.