коммутотивность суммирования бесконечного ряда

[erwins]

вверх?

[Sonic86]

erwins в сообщении #547465 писал(а):

вверх?

По правилам низя так делать

erwins в сообщении #547392 писал(а):

Переформулирую, если операция комутативна и ассоциативна, то это не означает что не конечное применение этой операции будет обладать этими свойствами?
Какие ограничения надо ставить что бы операция продолжала обладать этим свойствами и для неконечного числа операций.

Извольте выразиться точнее.

erwins в сообщении #547392 писал(а):

конечное применение этой операции

Вот это вообще что такое? В общем, это конечно операция (типа $+(a_1,...,a_n)$), но в зависимости от числа слагаемых у нее арность разная (арность м.б. любым натуральным числом здесь). Пусть так.
Далее

erwins в сообщении #547392 писал(а):

Переформулирую, если операция комутативна и ассоциативна, то это не означает что не конечное применение этой операции будет обладать этими свойствами?

Вот что такое коммутативность $f(a_1,...,a_n)$ я могу себе помыслить (функция симметрична по всем аргументам). А ассоциативность как будет выглядеть?

Ну и

erwins в сообщении #547392 писал(а):

Какие ограничения надо ставить что бы операция продолжала обладать этим свойствами и для неконечного числа операций.

Рекомендую Вам сходить в любую конечную коммутативную группу, загляните в абелеву группу конечного ранга (можно с кручением взять), сходите в поле алгебраических чисел и в кольца множеств и задайте Ваши вопросы там. Надеюсь, Вы увидите, что они без множества дополнительных ограничений бессмысленные (т.е. коммутативности и ассоциативности операции будет недостаточно).

[erwins]

Цитата:

Вот что такое коммутативность $f(a_1,...,a_n)$ я могу себе помыслить (функция симметрична по всем аргументам). А ассоциативность как будет выглядеть?

Теорема Римана сформулирована для левой свертки, не уверен что ее можно сформулировать для правой. Если предполагать, что операция коммутативна и ассоциативна, то это не играет роли, а если не вводить данного допущения, то возможно это важно.

Вы сформулировали слишком большую группу и честно говоря не понятно какое к этому может иметь отношения абелевская конечная группа(или я не так понял)?

Вот меня и интересуют какие ограничения можно/нужно накладывать и наложены ли они на вещественные ряды.

[erwins]

не знаете куда можно задать этот вопрос или книжку где об этом относительно популярно написано

[Sonic86]

erwins, Вам просто надо определиться с тем, насколько общий вопрос Вы задаете. Если Вас интересует только составление рядов для операций суммы и произведения для действительных чисел, то здесь уже все известно - теорема Римана в Фихтенгольце. Если же Вы хотите рассмотреть какие-то более общие операции, то, во-первых, надо указать явно класс групп или полей, где Вы их хотите изучать (может быть Вас ряды из $p$-адических чисел заинтересуют), во-вторых, этот класс полей должен иметь определенные ограничения, чтобы там вообще имело смысл это рассматривать.
Вот возьмем $\mathbb{Z}_3^{+}$ - тут есть операция сложения, коммутативная, ассоциативная, в общем все хорошо. Давайте рассмотрим тут какой-нибудь ряд $1+2+0+0+2+1+2+0+...$. Может ли здесь быть определена сумма ряда? Нет конечно, только если $n$-й член не стабилизируется на нуле и тогда будет конечная сумма. Та же фигня в конечных группах.
А в неполных группах ряды не сходятся к элементам групп.
Возможно, какие-то еще ограничения нужны. Например, любые ряды в $\mathbb{Z}$, определенные обычным образом, просто расходятся к бесконечности.
Это мы еще даже об условной сходимости говорить не начали.
Понятно?

[erwins]

Sonic86 в сообщении #547619 писал(а):

erwins, Вам просто надо определиться с тем, насколько общий вопрос Вы задаете. Если Вас интересует только составление рядов для операций суммы и произведения для действительных чисел, то здесь уже все известно - теорема Римана в Фихтенгольце. Если же Вы хотите рассмотреть какие-то более общие операции, то, во-первых, надо указать явно класс групп или полей, где Вы их хотите изучать (может быть Вас ряды из $p$-адических чисел заинтересуют), во-вторых, этот класс полей должен иметь определенные ограничения, чтобы там вообще имело смысл это рассматривать.
Вот возьмем $\mathbb{Z}_3^{+}$ - тут есть операция сложения, коммутативная, ассоциативная, в общем все хорошо. Давайте рассмотрим тут какой-нибудь ряд $1+2+0+0+2+1+2+0+...$. Может ли здесь быть определена сумма ряда? Нет конечно, только если $n$-й член не стабилизируется на нуле и тогда будет конечная сумма. Та же фигня в конечных группах.
А в неполных группах ряды не сходятся к элементам групп.
Возможно, какие-то еще ограничения нужны. Например, любые ряды в $\mathbb{Z}$, определенные обычным образом, просто расходятся к бесконечности.
Это мы еще даже об условной сходимости говорить не начали.
Понятно?

Это все я достаточно хорошо знаю.
По пунктам
1. пример построен на условносходящемся ряде. В случае $\mathbb{Z}$ мы не можем достаточно простым образом построить сходящийся ряд.
2. Пока я рассматриваю полные группы.
3. Я рассмотрел только операцию сложения.
4. Теорема Римана говорит, что это так, но не говорит почему мы теряем коммутативность/ассоциативность сложения. Во всяком случае я не знаю лемму или аксиому из которой это следует.
5. Мне интересно, в каких еще случаях (алгебрах, группах, множествах...) может вылазить этот эффект.

[gris]

Можно я нестрого выскажусь? Знакопеременный ряд можно представить себе как перемешанную сумму двух рядов: с положительными членами и отрицательными (нулевые можно и не рассматривать). Для условно сходящихся рядов эти суммы равны соответственно плюс и минус бесконечности. Для абсолютно сходящихся они конечны, причём сумма ряда просто равна их сумме.
Для условно сходящегося ряда мы как бы должны ожидать того же, но выражение $\infty-\infty$ неопределённо и в пределе может принимать любое значение.
Мне интуитивно в этом видится теорема Римана. Что ряд можно разбить на два ряда с бесконечными суммами разного знака. Собственно, на этом и основано её доказательство.

[Sonic86]

erwins в сообщении #547634 писал(а):

4. Теорема Римана говорит, что это так, но не говорит почему мы теряем коммутативность/ассоциативность сложения. Во всяком случае я не знаю лемму или аксиому из которой это следует.

Мне не очень понятно, что имеется ввиду под словом "почему". Тут 2 варианта:
1-й вариант. Нас подводит язык и конструкцию "почему ... - потому что ..." надо заменить на "если ..., то ...". И тогда ответ для рядов с действительными числами у нас есть:
а) если ряд сходится абсолютно, то любая перестановка членов ряда дает новый ряд с той же суммой
б) если ряд сходится условно, то существует перестановка членов ряда, изменяющая сумму.
Как бы все понятно. Конкретный список используемых условий можно посмотреть в доказательстве теорем (их там почти нету).
2-й вариант. Вы ищете некое более общее описание. Ну я тогда не знаю - если у Вас есть идея, попробуйте ее выразить (у меня этой идеи нету).

[erwins]

gris это так. каким общим условием должен обладать ряд(не обязательно действительные числа) что бы перестановка членов изменяла сумму ряда. Сложение полагаем коммутативным и ассоциативным. Всегда ли обязательна бесконечность суммы или например для каких то особенных структур это не так? Так как эффект возникает в том случае когда в ряде присутствие обратные элементы всегда ли это так?

Sonic86 Вариант 2.

[gris]

Я как раз и имел в виду, что ряд (интеграл или некоторая структура) не должен содержать в себе две бесконечные противоположности. Результат их взаимодействия принципиально неопределён. В конечных суммах и абсолютно сходящихся рядах мы никак не сможем выделить расходящийся подряд. В условно сходящемся — можем. Условно сходящийся ряд всего лишь оболочка, сдерживающая две страшные неопределённости. Счётно колыхните эту оболочку и равновесие моментально изменится. Станет другим.
Коммутативность и ассоциативность это стабильность. Стабильность принципиально исчезает, когда встречаются противоположные неопределённости. В конечных суммах неопределённостей просто не может существовать. А в бесконечных они могут появляться.

[erwins]

gris теперь вопрос можно это переформулировать так что для бесконечных (и возможно каких либо других) рядов если операция коммутативна/ассоциативна то это не означает что будет она же коммутативна/ассоциативна для бесконечной суммы? Можно привести условия при котором происходит этот переход?