Доказать, или показать на примере, что:

[vorvalm]

Уж как -нибудь соображаем...
Зачем применять асимптотику там, где она не требуется?

[nnosipov]

vorvalm в сообщении #545540 писал(а):

Уж как -нибудь соображаем...

То есть Вы поняли, что никакой "явной ошибки" в цитированном сообщении нет.

[vorvalm]

Если не "явная", то системная.

[nnosipov]

vorvalm в сообщении #545548 писал(а):

Если не "явная", то системная.

Ну, это Ваши домыслы, они беспредметны и потому не имеют значения.

[vorvalm]

4-х кратное асимтотическое пребразование искажает конечный результат.

[Апис]

Sonic86 доказал, что k может быть ограничена по величине. k – константа. И неравенство $\frac{n}{{k \cdot \prod\limits_{i = 1}^n {\frac{{{p_i} - 1}}{{{p_i}}}} }} < {p_n}$ с (k =const), будет выполняться, при любом (P_n). Эта задача возникла не на пустом месте. И сформулировать её можно так, предположим, есть интервал, на котором хотя бы одно простое число, $\left( {{p_n},\frac{n}{{2\prod\limits_{i = 1}^n {\frac{{{p_i} - 1}}{{{p_i}}}} }}} \right)$ (n>16) Есть ли такой коэффициент k (константа), при котором $\frac{n}{{k \cdot \prod\limits_{i = 1}^n {\frac{{{p_i} - 1}}{{{p_i}}}} }} < {p_n}$ (Доказано, что есть) из этого следует, на интервале $\left( {{p_n},\frac{n}{{k\prod\limits_{i = 1}^n {\frac{{{p_i} - 1}}{{{p_i}}}} }}} \right)$ нет ни одного простого числа. Что это может дать? Определить в интервале (2,k) такой коэффициент при котором конец интервала будет простым числом.
Формула ${p_n} \cdot k \cdot \prod\limits_{i = 1}^n {\frac{{{p_i} - 1}}{{{p_i}}}} $ из неравенства $n < {p_n} \cdot k \cdot \prod\limits_{i = 1}^n {\frac{{{p_i} - 1}}{{{p_i}}}} $ не даёт ни одного простого числа, результат, величина, чистая погрешность вычисления, Так же как и результат вычисления ${p_n}\prod\limits_{i = 1}^n {\frac{{{p_i} - 1}}{{{p_i}}}} $ это чистая ошибка вычисления .
Отсюда вопрос, насколько правомерно при доказательстве вы сравнивали

Цитата:

$p_n\prod\limits_{j=1}^n\frac{p_j-1}{p_j}\sim n\ln n \frac{e^{-\gamma}}{\ln n}\sim e^{-\gamma}n$

Это просто вопрос, мне нужно узнать ваше мнение о правомерности сравнения ошибки вычисления с количеством простых чисел.

[Sonic86]

Что-то я не очень понял вопрос
Я могу сказать, что если Вы какой-то интервал $(x,y)$ рассматриваете, то у Вас должно быть $x\leqslant y$, а мы вроде как подбирали $k$, чтобы было наоборот

Апис в сообщении #545755 писал(а):

Определить в интервале (2,k) такой коэффициент при котором конец интервала будет простым числом.

Я не уверен, что такое $k$ вообще есть.

Апис в сообщении #545755 писал(а):

Это просто вопрос, мне нужно узнать ваше мнение о правомерности сравнения ошибки вычисления с количеством простых чисел.

Тоже понять не могу. Что такое здесь "ошибка вычисления"?

Еще: если мы будем рассматривать интервалы вида $(p_n,y_n)$, где $y_n\sim Kp_n\sim Kn\ln n$, то для всех $n>n_0$ в каждом таком интервале будет хотя бы одно простое по постулату Бертрана.

[Апис]

Sonic86 в сообщении #545768 писал(а):

Я не уверен, что такое $k$ вообще есть

Должно быть, вроде бы.

Sonic86 в сообщении #545768 писал(а):

Тоже понять не могу. Что такое здесь "ошибка вычисления"?

Для этого надо вернуться к началу работы, формула алгоритма вычисления результата решета Эратосфена. Все числа до P_n для формулы составные. А дальше вычисление количества простых чисел на интервале (P_n,P_n^2) по формуле. Вычисление с погрешностью, о величине которой я ничего сказать не могу, ещё та проблема. Правда на форуме уже показали рост погрешности бесконечный, но опять же сравнивали с асимптотическими формулами. А при таком сравнении есть вопросы. И сравнения не подходят для коротких интервалов. Но эти вопросы сейчас не к месту.

[vicvolf]

vorvalm в сообщении #545540 писал(а):

Зачем применять асимптотику там, где она не требуется?

Согласен, в теме вообще используется асимптотика, хотя надо доказать неравенство.
-- 06.03.2012, 16:00 --

Sonic86 в сообщении #545768 писал(а):

Еще: если мы будем рассматривать интервалы вида $(p_n,y_n)$, где $y_n\sim Kp_n\sim Kn\ln n$, то для всех $n>n_0$ в каждом таком интервале будет хотя бы одно простое по постулату Бертрана.

Постулат Бертрана формулируется без всякой асимптотики - Для любого натурального n ≥ 2 найдётся простое число p в интервале $n < p < 2n$
-- 06.03.2012, 16:05 --

Руст в сообщении #537015 писал(а):

$$\sum_{n=1}^N\prod_{i=1}^n(1-\frac{1}{p_i+1})<\sum_{n=1}^N 1<N<p_N.$$

Это неравенство нельзя доказывать через асимптотику.

[vicvolf]

Руст в сообщении #537015 писал(а):

Очевидно

$$\sum_{n=1}^N\prod_{i=1}^n(1-\frac{1}{p_i+1})<\sum_{n=1}^N 1<N<p_N.$$

Конечно очевидно - это сумма n произведений, каждое из которых меньше 1!

[Апис]

В продолжение темы: Что бы доказать $const = k$

Достаточно доказать $const = k = \left[ {\prod\limits_{i = 1}^n {\frac{{{p_i}}}{{{p_i} - 1}}} } \right]$

Доказать, что целая часть среднего пробела имеет предел. $\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \left[ {\prod\limits_{i = 1}^n {\frac{{{p_i}}}{{{p_i} - 1}}} } \right]$

[Sonic86]

$\lim\limits_{n\to +\infty}\prod\limits_{i=1}^n\frac{p_i}{p_i-1}=+\infty$

[Апис]

Sonic86 Целая часть среднего пробела.
Для примера (n) =57347
P_n=710569
Целая часть среднего пробела равна 24

[Sonic86]

Ну и что. Произведение растет как логарифм, довольно медленно, но все равно до $+\infty$. Это следует из $p_i \sim i \ln i$, попробуйте доказать, это несложно. Или снова из теоремы Мертенса получаем, что оно растет как $e^{\gamma} \ln n$.

[Апис]

Попробую ещё раз, предположим есть целая часть среднего пробела (m) что бы доказать что это предел, достаточно доказать что с некого простого числа P_n для которого средний пробел равен (m) рост величины средего пробела бесконечен, но не превысит единицы. Вы понимаете, рост не с начала, а с некого числа P_n. На любое ваше доказательство, мне достаточно взять новое (начальное) простое число, большее P_n. Для которого средний пробел (m+1) и всё сначала