т.Котельникова:почему спектр дискретного сигнала периодичен?

[Alex-Yu]

profrotter в сообщении #544991 писал(а):

Так положено - так люди получают формулы.

Я получаю формулы совсем иначе. И никак не могу согласиться, что что-то там "положено". Кем "положено", Г.Богом? Его нет в природе

[profrotter]

Alex-Yu в сообщении #544976 писал(а):

Кстати, на счет перекрытия спектров можно все объяснить вообще без формул на радиотехническом языке. Цифровой сигнал -- это амплитудная модуляция (точнее DSB) своего рода "несущей" в виде последовательности коротких импульсов. Такая несущая имеет бесконечный дискретный спектр (включая нулевую частоту). При модуляции образуются боковые полосы. Которые начинают перекрываться если спектр модулирующих частот больше половины частоты основной гармоники несущей. Ну а если не больше, то пропустите через ФНЧ, отсеките лишнее и получите исходый аналоговый сигнал.

Именно об этом я и писал:

(Оффтоп)

profrotter в сообщении #543765 писал(а):

Теперь к спектру дискретного сигнала. Дискретный сигнал описывается выражением

$$s_d(t)=s(t)s_{\text{нип}}(t),$$

где $s(t)$ - аналоговый сигнал. $s_{\text{нип}}(t)$ - несущая импульсная последовательность (НИП), которая представляет собою периодическую последовательность (обычно прямоугольных) импульсов, длительность $\tau_0$ которых гораздо меньше периода их следования $T$. Период следования импульсов НИП является периодом дискретизации.

Как периодический сигнал, НИП можно представить в виде ряда Фурье в комплексной форме:

$$s_{\text{нип}}(t)=\sum\limits_{n=-\infty}^{+\infty}C_ne^{in\omega_d t},$$

где $\omega_d=\frac {2\pi} T$ - частота дискретизации, $C_n$ - коэффициенты ряда. В случае, когда НИП - последовательность прямоугольных импульсов $C_n=V_0\frac {\tau_0}{T}sinc(\frac {n\omega_d\tau_0}{2})$, $V_0$ - размах импульсов последовательности.

С учётом разложения НИП для дискретного сигнала запишем выражение:

$$s_d(t)=\sum\limits_{n=-\infty}^{+\infty}C_ns(t)e^{in\omega_d t}.$$

Возмём преобразование Фурье. С учётом свойства линейности получим:

$$S_d(\omega)=\sum\limits_{n=-\infty}^{+\infty}C_n\int\limits_{-\infty}^{\infty}s(t)e^{-i(\omega-n\omega_d) t}dt=\sum\limits_{n=-\infty}^{+\infty}C_nS(\omega-n\omega_d).$$

Подставив в полученное выражение коэффициенты $C_n$ получим спектральную плотность дискретного сигнала. В идеализированном случае полагают, что НИП представляет собою последовательность прямоуольных импульсов с $V_0=\frac 1 {\tau_0}$ и $\tau_0\to0$. При этом импульсы НИП становятся бесконечно короткими и бесконечно высокими, но с единичной площадью под графиком, то есть "превращаются" в дельта-импульсы, $C_n=\frac 1 T$. Спектральная плотность идеализированного дискретного сигнала описывается выражением:

$$S_d(\omega)=\frac 1 T\sum\limits_{n=-\infty}^{+\infty}S(\omega-n\omega_d)$$

и представляет собою периодическое повторение копий спектра исходного (аналогового) сигнала с коэффициентом $\frac 1 T$ и с периодом по частотной оси, равным частоте дискретизации.

Alex-Yu в сообщении #544992 писал(а):

Я получаю формулы совсем иначе.

Стало быть, Ваша очередь получать ряд Котельникова "иначе".

[epros]

profrotter в сообщении #544667 писал(а):

epros, скажите это позволит мне определить интеграл от квадрата дельта-функции?

Нет, ибо соответствующий предел не существует.

profrotter в сообщении #544750 писал(а):

Поскольку во внутреннем интеграле пределы фактически конечны, то его можно "проинтегрировать почленно" - то есть можно поменять порядок интрегрирования

Если уж начать углубляться в математику, то мне это не очевидно. Возьмите вместо $\varphi(x)$ тета-функцию $\theta(x)$. Чему равен указанный интеграл? 0? 1? 1/2? Как это доказать?

Однако, выбрав конкретный вид последовательности функций $s(n,x)$, предел которых определяет дельта-функцию, получим и конкретный ответ на этот вопрос.

-- Пн мар 05, 2012 17:13:47 --

Для интереса предлагаю Вам посчитать для следующего варианта:

$$ s(n,x)=\begin{cases} 0,&\text{если} ~ x<-\frac{1}{n};\\ \frac{n}{4},&\text{если} ~ -\frac{1}{n} \leqslant x \leqslant \frac{3}{n};\\ 0,&\text{если} ~ x>\frac{3}{n}. \end{cases} $$

-- Пн мар 05, 2012 17:23:32 --

Подсказка:

$\lim\limits_{n\to+\infty}\int\limits_{-\infty}^{+\infty}s(n,x)\theta(x)dx=\frac{3}{4}$

но:

$\lim\limits_{n\to+\infty}\int\limits_{-\infty}^{+\infty}[\int\limits_{-\infty}^{+\infty}s(n,x')s(n,x-x')dx']\theta(x)dx=\frac{7}{8}$

[profrotter]

epros в сообщении #545547 писал(а):

profrotter в сообщении #544750 писал(а):

Поскольку во внутреннем интеграле пределы фактически конечны, то его можно "проинтегрировать почленно" - то есть можно поменять порядок интрегрирования

Если уж начать углубляться в математику, то мне это не очевидно.

Смотрим ещё раз на внутренний интеграл с учётом чётности дельта-функции:

$$f(x)=\int\limits_{-\infty}^{\infty}\delta(x')\delta(x-x')dx'=\int\limits_{-\infty}^{\infty}\delta(x')\delta(x'-x)dx'$$

Получается такая штука, что при всех $x$, кроме тех, что находятся в бесконечно-малой окрестности нуля подынтегральное выражение равно нулю. Действительно: $\delta(x')$ равна нулю везде кроме бесконечно-малой окрестности нуля, а $\delta(x'-x)$ равна нулю везде, кроме бесконечно малой окрестности $x$. На графике получим, что две дельта-функции "растут из точек с разными абсциссами (одна из нуля, другая - из точки $x$)". Там, где одна дельта-функция отличается от нуля, другая равна нулю и результат их произведения равен нулю. А отличаться от нуля подынтегральное выражение будет, когда $x$ и $x'$ находятся в бесконечно-малой окрестности нуля. То есть когда две подынтегральных дельта-функции будут "расти из нулевой абсциссы". Это значит, что интегрировать можно в любых конечных пределах.

Возможно тут будет более наглядным подход, в рамках которого сначала следует исследовать свёртку двух функций дельта-образующих последовательностей и установить, что результат тоже будет функцией дельта-образующей последовательности. Если рассматриваем иглы - гауссианы - то свёртка будет гауссиан. Если рассматриваем $sinc$ - свёртка будет $sinc$. То есть одобряемые математикой иголочки не изменяются при свёртке. Не одобряемый математикой прямоугольный импульс при свёртывании сам с собою даст треугольный импульс. Вид иголки изменяется, но игольчатое свойство по-прежнему сохраняется.

epros в сообщении #545547 писал(а):

Возьмите вместо $\varphi(x)$ тета-функцию $\theta(x)$. Чему равен указанный интеграл? 0? 1? 1/2? Как это доказать?

$\varphi(x)$ - это любая функция из пространства основных (пробных) функций. Если Ваша тета-функция принадлежит пространству основных функций (является бесконечно-гладкой, ограниченной, убывающей на бесконечности и имеет ограниченные производные убывающие на бесконечности), то смело можете её подставлять и получать указанный интеграл равным $\theta(0)$. Я к сожалению не могу предполагать, что конкретно Вы именуете тета-функцией.

Дельта-образующие реулярные последовательности тоже должны удовлетворять определённым требованиям. Последовательность прямоугольных функциий обычно включает чётно-симметричные прямоугольные функции вида $\frac {1}{\tau_0}rect(\frac {t} {\tau_0})$. Имею подозрение, что Ваша в пределе не обеспечит действительную спектральную плотность и, как следствие, не обеспечит чётную симметрию дельта-функции.

[epros]

profrotter в сообщении #545649 писал(а):

Это значит, что интегрировать можно в любых конечных пределах.

Против этого нет возражений. Вопрос был в том, почему мы можем изменить порядок интегрирования. Для обобщённых функций мне это не очевидно.

profrotter в сообщении #545649 писал(а):

Если Ваша тета-функция принадлежит пространству основных функций (является бесконечно-гладкой, ограниченной, убывающей на бесконечности и имеет ограниченные производные убывающие на бесконечности), то смело можете её подставлять и получать указанный интеграл равным $\theta(0)$.

Во-первых, перечисленные Вами требования - избыточные. Они исключают из рассмотрения множество функций, которые важны в теории обработки сигналов. В частности, тета-функция не может быть исключена из этой теории - без неё теория потеряла бы добрую половину своей ценности. Так что никакой бесконечно-гладкости не нужно, а достаточно интегрируемости.

Во-вторых значение функции в нуле на самом деле никакой роли не играет. Да, определение дельта-функции иногда дают через значение функции в нуле. Но это неточно. Дельта-функция полностью определяется соответствующим пределом. Из него обычно следует, что $\int\limits_{-\infty}^{+\infty}\delta(x)\varphi(x)dx$ равно среднему арифметическому между пределами $\varphi$ в нуле слева и справа. Да и то - только при дополнительных требованиях на последовательность $s(n,x)$.

profrotter в сообщении #545649 писал(а):

Последовательность прямоугольных функциий обычно включает чётно-симметричные прямоугольные функции

Из приведённого Вами определения дельта-функции это никак не следует. Чтобы получать симметричные результаты интегралов $\int\limits_{-\infty}^{+\infty}\delta(x)\varphi(x)dx$ необходимо накладывать дополнительные условия - на чётность функций $s(n,x)$. А можно и не накладывать, тогда и получим примеры типа того, что я привёл выше.

Мой пример был призван продемонстрировать, что Ваши рассуждения с заменой порядка интегрирования в случае, когда под интегралом стоят обобщённые функции, могут быть некорректными. В частности:

$\lim\limits_{n\to+\infty}\int\limits_{-\infty}^{+\infty}[\int\limits_{-\infty}^{+\infty}s(n,x')s(n,x-x')dx']\theta(x)dx \ne \lim\limits_{n\to+\infty}\int\limits_{-\infty}^{+\infty}s(n,x)\theta(x)dx$,

хотя в определённом смысле оба предела соответствуют интегралам $\int\limits_{-\infty}^{+\infty}\delta(x)\theta(x)dx$. Вот только "дельта-функции" под интегралами стоят ... хм ... "разные".

[profrotter]

epros в сообщении #545721 писал(а):

Против этого нет возражений. Вопрос был в том, почему мы можем изменить порядок интегрирования. Для обобщённых функций мне это не очевидно.

Соглашусь. Тут не просто не очевидно, но и в некоторых случаях бессмысленно или требует знания топологии. Просто укажем на Гельфанд И.М., Шилов Г.Е. Обобщённые функции. Выпуск 1: Обобщённые функции и действия над ними. - М.: ФИЗМАТЛИТ 1959г, стр. 131 парграф 5 "Свертка обобщённых функций". Там приведено определение свёртки для обобщённых функций и сказано, что свёртка любой обобщённой функции с дельта-функцией всегда имеет смысл и есть сама обощённая функция см. формула (3) на стр.136: $\delta*f=f$

epros в сообщении #545721 писал(а):

Во-первых, перечисленные Вами требования - избыточные. Они исключают из рассмотрения множество функций, которые важны в теории обработки сигналов. В частности, тета-функция не может быть исключена из этой теории - без неё теория потеряла бы добрую половину своей ценности. Так что никакой бесконечно-гладкости не нужно, а достаточно интегрируемости.

Во-вторых значение функции в нуле на самом деле никакой роли не играет. Да, определение дельта-функции иногда дают через значение функции в нуле. Но это неточно. Дельта-функция полностью определяется соответствующим пределом. Из него обычно следует, что $\int\limits_{-\infty}^{+\infty}\delta(x)\varphi(x)dx$ равно среднему арифметическому между пределами $\varphi$ в нуле слева и справа. Да и то - только при дополнительных требованиях на последовательность $s(n,x)$.

Не безобразничайте в учебном разделе. Есть Колмогоров - Фомин Элементы теории функций и функционального анализа, есть Гельфанд - Шилов, упомянутый выше, есть ещё масса книг и учебников, где даётся определение дельта-функции и рассматривается пространство основных функций. Мне тут недавно звонил Вольф Месинг и сообщил, что под тета-функцией Вы подразумеваете функцию Хевисайда. Так вот - она сама является обобщённой функцией и её ну никак нельзя подставить на место основной. Если вы хотите рассматривать интеграл с дельта и тета-функцией, то следует посмотреть в Гельфанде-Шилове определение прямого произведения обобщённых функций, ну или этот ингерал можно рассмотреть как частный случай свёртки дельта-функции и тета-функции.

epros в сообщении #545721 писал(а):

Мой пример был призван продемонстрировать, что Ваши рассуждения с заменой порядка интегрирования в случае, когда под интегралом стоят обобщённые функции, могут быть некорректными. В частности:

$\lim\limits_{n\to+\infty}\int\limits_{-\infty}^{+\infty}[\int\limits_{-\infty}^{+\infty}s(n,x')s(n,x-x')dx']\theta(x)dx \ne \lim\limits_{n\to+\infty}\int\limits_{-\infty}^{+\infty}s(n,x)\theta(x)dx$,

хотя в определённом смысле оба предела соответствуют интегралам $\int\limits_{-\infty}^{+\infty}\delta(x)\theta(x)dx$. Вот только "дельта-функции" под интегралами стоят ... хм ... "разные".

Простите, Вы там один и тот же человек? Ваш пример показывал бы, что предложенный Вами ранее подход с заменой дельта-функции на дельта-образующую последовательность при вычислении свёртки может не работать. Но, к счастью, он всего лишь некорректен.

[epros]

profrotter в сообщении #545811 писал(а):

Мне тут недавно звонил Вольф Месинг и сообщил, что под тета-функцией Вы подразумеваете функцию Хевисайда.

Ура! Мы поняли друг друга и мне не пришлось рассказывать общеизвестные вещи.

profrotter в сообщении #545811 писал(а):

Так вот - она сама является обобщённой функцией и её ну никак нельзя подставить на место основной.

Не безобразничайте в учебном разделе. Ибо "подставлять её на место основной" студентов учат в рамках курса уравнений мат. физики, если не ошибаюсь, на четвёртом курсе. И без этого специалист в области обработки сигналов получится ну просто никакой. Как, скажем, без подобных вещей понять связь между импульсной и переходной характеристиками фильтров?

profrotter в сообщении #545811 писал(а):

Ваш пример показывал бы, что предложенный Вами ранее подход с заменой дельта-функции на дельта-образующую последовательность при вычислении свёртки может не работать. Но, к счастью, он всего лишь некорректен.

Чем же он некорректен? Дельта-образующая последовательность - это как раз то, что понятно физику, потому он и был "предложен". Но без него, используя только одно определение дельта-функции как функционала на множестве "основных функций", Вы про свёртку двух дельта-функций вообще ничего доказательно сказать не сможете.

[profrotter]

epros в сообщении #545830 писал(а):

Ура! Мы поняли друг друга и мне не пришлось рассказывать общеизвестные вещи.

Этих тета-функций в-о-о-о-т сколько: http://ru.wikipedia.org/wiki/%CE%98-%D1 ... 0%B8%D1%8F И ещё вагон и маленькая тележка разных математических объектов, называемых тета-функциями. Наберите в любой поисковой программе и убедитесь сами. Я привык говорить "функция Хевисайда", "единичный скачок", "(единичная) ступенчатая функция", иногда даже "сигма - функция" (потому что начертание буковки сигма напоминает ступеньку).

epros в сообщении #545830 писал(а):

Не безобразничайте в учебном разделе. Ибо "подставлять её на место основной" студентов учат в рамках курса уравнений мат. физики, если не ошибаюсь, на четвёртом курсе. И без этого специалист в области обработки сигналов получится ну просто никакой.

Будьте любезны ссылочку на учебник!

epros в сообщении #545830 писал(а):

Как, скажем, без подобных вещей понять связь между импульсной и переходной характеристиками фильтров?

Известно как. Функция Хевисайда является первообразной для дельта-функции, то есть является импульсной характеристикой идеального интегратора. Так вот теперь рисуем схему, в которой последовательно включаются идеальный интегратор и исследуемая линейная система и подаём на её вход дельта-импульс. На выходе интератора получится функция Хевисайда и она будет воздействовать на вход исследуемой системы. На выходе исследуемой системы по определению имеем переходную характеристику. Теперь вспоминаем, что линейные звенья можно спокойно менять местами. Меняем местами так, что первой оказывается исследуемая система, а второй последовательно включен идеальный интегратор. На вход подаём дельта-импульс. На выходе исследуемой цепи получим её импульсную характеристику. На выходе интегратора получим первообразную для импульсной характеристики. Поскольку изменение порядка следования линейных звеньев не изменяет внешние свойства линейной системы и сигнал на входе в первом и втором случае один и тот же, то должны совпадать и сигналы на выходе в первом и втором случае. То есть переходная характеристика является первообразной для импульсной.

Если уровень качественного понимания не требуется, то же самое можно показать на основе преобразования Лапласа. Действительно: передаточная функция линейной системы является преобразованием Лапласа её импусльной характеристики: $h(t)\leftrightarrow H(p)$. Подадим на вход системы единичный скачок, тогда изображение сигнала на выходе получим в виде $\frac 1 p H(p)$. Сам сигнал на выходе при этом по определению является переходной характеристикой и определяется обратным преобразованием Лапласа и с учётом свойства интерирования представляет собою первообразную для импульсной характеристики.

epros в сообщении #545830 писал(а):

Чем же он некорректен? Дельта-образующая последовательность - это как раз то, что понятно физику, потому он и был "предложен". Но без него, используя только одно определение дельта-функции как функционала на множестве "основных функций", Вы про свёртку двух дельта-функций вообще ничего доказательно сказать не сможете.

Некорректен тем, что Вы пытаетесь подставить обобщённую функцию на место основной, не считаясь с тем, что для обобщённых функций вводится понятие свёртки, о чём сказано в работе, ссылку на которую я вам уже дал с точностью до страницы.

[epros]

profrotter в сообщении #545842 писал(а):

Вы пытаетесь подставить обобщённую функцию на место основной

Если дельта-функция определяется последовательностью, то в этом нет никакой проблемы.

Попробуйте лучше доказать, что свертка двух дельта-функций имеет смысл, имея на руках одно только такое определение:

$\int\limits_{-\infty}^{+\infty} \delta(x) \varphi(x) dx$ - это функционал, значением которого для любой основной функции $\varphi$ является $\varphi(0)$.

Я утверждаю, что это невозможно.

profrotter в сообщении #545842 писал(а):

Будьте любезны ссылочку на учебник!

Я же не книжная полка. Мы интегралы типа $\int\limits_{-\infty}^{+\infty} \delta(x) \theta(x) dx$ в студенческие годы проходили. Учебник, насколько я помню, так и назывался: Уравнения математической физики. Автора не помню (Владимиров?).

[Munin]

epros в сообщении #545956 писал(а):

Я же не книжная полка. Мы интегралы типа $\int\limits_{-\infty}^{+\infty} \delta(x) \theta(x) dx$ в студенческие годы проходили. Учебник, насколько я помню, так и назывался: Уравнения математической физики. Автора не помню (Владимиров?).

Вау. Я тут посмотрел - нет во Владимирове таких интегралов. Так что интересно, где же такое волшебство бывает. Пусть вы и не книжная полка, отвечать-то за свои слова надо. Найдите учебник, пожалуйста!

[profrotter]

epros в сообщении #545956 писал(а):

Я утверждаю, что это невозможно.

epros, обычно бремя доказывания лежит на утверждающем. В данном случае Вам потребуется доказать, что невозможно доказать, что... Между тем в Гельфанд И.М., Шилов Г.Е. Обобщённые функции. Выпуск 1: Обобщённые функции и действия над ними. - М.: ФИЗМАТЛИТ 1959г, парграф 5 "Свертка обобщённых функций" на стр. 135 даётся определение свёртки обобщённых функций (формула (1)) после чего на той же странице пишут, что эта свёртка имеет смысл в двух случаях: когда один из функционалов имеет ограниченный носитель и когда носители обоих функционалов ограничены с одной и той же стороны. Доказательство следует на стр. 136. Формально Вы правы: для доказательства нужно не только определение дельта-функции (тут более общий случай - обобщённой функции), но и определение самой свёртки для обобщённых функций. Но, согласитесь, - это уже просто игра слов.

[AAE]

Groging.
Представление дискретизированного по времени сигнала в виде взвешенной суммы дельта-функций было предложено Николаем Константиновичем Игнатьевым (по его словам) в 1959 году (Игнатьев Н.К. "Дискретизация и её приложения". - М.: Связь, 1980).
Оригинальное доказательство теоремы отсчетов как у Котельникова, так и у Шеннона, является по словам Я.И. Хургина и В.П. Яковлева ("Финитные функции в физике и технике" - два издания, и другие работы в составе группы авторов, включая В.Ф. Кравченко и его учеников) искуственным, но быстро приводящим к цели. Действительно, раскладывать финитные функции по системе нефинитных функций с точки зрения функционального анализа - не совсем хорошо и чревато всякими неожиданностями (периодизация спектра при дискретизации, теорема Агеева). Но доказать теорему отсчетов можно и по другому - разложить финитный спектр (преобразование Фурье по комплексным экспонентам) по системе финитных функций. Каких? Простейший случай - комплексные экспоненты кратных частот, умноженные на характеристическую функцию интервала финитности. При этом никакой периодизации спектра при дискретизации не появится.
Сейчас представление дискретизированного по времени сигнала в виде взвешенной суммы дельта-функций и, как следствие, периодизация спектра, настолько укрепилось в литературе и умах, что как бы является "аксиомой". Но это не так. Это всего лишь один из методов представления, но не единственный. В той же книге Игнатьева во всех практически выкладках вместо взвешенной суммы дельта-функций можно подставить ряд Котельникова - и всё будет получаться. Если при анализе системы оригинальный ряд Котельникова не очень подходит, то можно воспользоваться рядом, аналогичным ряду Котельникова, спектр которого (ряда) не периодическое повторение исходного спектра, а только N кратное повторение (N - конечное целое).
Вообщем, тут большой простор для творчества.
Если Вы очень интересуетесь теорией дискретизации, то рекомендую упомянутую выше книгу Харгина и Яковлева - http://urss.ru/cgi-bin/db.pl?lang=Ru&bl ... &id=113735 (второе издание) и http://urss.ru/cgi-bin/db.pl?lang=Ru&bl ... k&id=49200 (первое издание, оно у меня есть в электронном виде, могу выслать), и вот эту книгу - http://www.ozon.ru/context/detail/id/1863587/ (тут, по моему разумению, самый полный обзор, плюс самое-самое обобщение теоремы отсчетов). Обе книги дополняют друг друга. То есть, какой-либо одной для полного понимания вопроса недостаточно.
Прошу прощение за неумелость в пользовании форумом - первый раз тут. Буду учиться.