т.Котельникова:почему спектр дискретного сигнала периодичен?

[profrotter]

(Оффтоп)

epros в сообщении #544560 писал(а):

profrotter в сообщении #544543 писал(а):

Ладно я вижу в полемике начинается хамство, потому вынужден выйти из неё.

Надеюсь, это не про меня? Я стараюсь быть максимально корректным.

Не про Вас.

epros в сообщении #544560 писал(а):

$\int\limits_{-\infty}^{+\infty} \varphi(\omega) [\int\limits_{-\infty}^{+\infty}\delta(\omega'+\omega_1)\delta(\omega-\omega'+\omega_2)d\omega'] d\omega = $

$\lim\limits_{m,n\to+\infty} \int\limits_{-\infty}^{+\infty}\varphi(\omega) [\int\limits_{-\infty}^{+\infty}s_{\delta}(n,\omega'+\omega_1) \, s_{\delta}(m,\omega-\omega'+\omega_2) d\omega'] d\omega = $

$\int\limits_{-\infty}^{+\infty} \varphi(\omega) \delta(\omega + \omega_2 - \omega_1) d\omega$

Тут Вы делаете тоже самое - просто заменяете

$$[\int\limits_{-\infty}^{+\infty}\delta(\omega'+\omega_1)\delta(\omega-\omega'+\omega_2)d\omega'] =\lim\limits_{m,n\to+\infty}[\int\limits_{-\infty}^{+\infty}s_{\delta}(n,\omega'+\omega_1) \, s_{\delta}(m,\omega-\omega'+\omega_2) d\omega'],$$

а фактически каждую дельта-функцию на предел дельта-образующей функции. То, что приписали ещё один интеграл ничего не изменяет.

Хорошо. Я пытаюсь постичь суть, упрощаю задачу и рассматриваю частный случай при $\omega_1=\omega_2=\omega=0$. Тогда с учётом чётности дельта-функции интеграл $[\int\limits_{-\infty}^{+\infty}\delta(\omega'+\omega_1)\delta(\omega-\omega'+\omega_2)d\omega']$ можно записать в виде:

$$\int\limits_{-\infty}^{+\infty}\delta^2(\omega)d\omega=\lim\limits_{n\to+\infty}\int\limits_{-\infty}^{+\infty}s_{\delta}^2(n,\omega)d\omega$$

epros, скажите это позволит мне определить интеграл от квадрата дельта-функции?

Нашёл вот тут http://www.ict.edu.ru/ft/000004//prilozh_sc.pdf формула (6). Пишут "определяется". То есть опять аксиома. Непонятно откуда этот кусок.

[Alex-Yu]

profrotter в сообщении #544667 писал(а):

Я пытаюсь постичь суть, упрощаю задачу и рассматриваю частный случай при $\omega_1=\omega_2=\omega=0$.

Здесь совершенно банальная ошибка: попытка использовать поточечный предел там, где есть только слабый предел. С таким же успехом Вы можете задать вопрос чему равняется $\delta(0)$.

-- Сб мар 03, 2012 02:40:56 --

profrotter в сообщении #544667 писал(а):

То, что приписали ещё один интеграл ничего не изменяет.

Как раз меняет. Принципиально. Именно в результате этого поточечный предел заменяется на слабый (функциональный).

[profrotter]

Что если следовать такому формализму. Рассматриваем свёртку двух дельта-функций

$$f(x)=\int\limits_{-\infty}^{\infty}\delta(x')\delta(x-x')dx'$$

Дельта-функцию полагаем равной нулю везде, кроме бесконечно-малой окрестности точки нуля. Это положение позволяет формально говорить о конечных пределах интегрирования в приведённом интеграле. Теперь рассмотрим

$$F(\varphi)=\int\limits_{-\infty}^{+\infty}f(x)\varphi(x)dx=\int\limits_{-\infty}^{+\infty}\int\limits_{-\infty}^{\infty}\delta(x')\delta(x-x')dx'\varphi(x)dx$$

Поскольку во внутреннем интеграле пределы фактически конечны, то его можно "проинтегрировать почленно" - то есть можно поменять порядок интрегрирования:

$$F(\varphi)=\int\limits_{-\infty}^{+\infty}\delta(x')\int\limits_{-\infty}^{\infty}\varphi(x)\delta(x-x')dxdx'=\int\limits_{-\infty}^{+\infty}\delta(x')\varphi(x')dx'=\varphi(0)$$

Таким образом $f(x)$ обладает фильтрующим свойством и, следовательно, является дельта-функцией:

$$\delta(x)=\int\limits_{-\infty}^{\infty}\delta(x')\delta(x-x')dx'$$

(А интеграл от квадрата дельта-функции объявить бесконечным, что означает, что во-первых дельта-имульс имеет бесконечную энергию, а во-вторых обобщает равенство Парсеваля.)

[Alex-Yu]

profrotter в сообщении #544750 писал(а):

Таким образом $f(x)$ обладает фильтрующим свойством и, следовательно, является дельта-функцией:

Ну вот видите, и никакой литературы не потребовалось Впрочем, если хочется разобрать вопрос более глубоко, то и почитать тоже не помешает. Увы, кроме второго тома Рида и Саймана мне что-то ничего не припоминается подходящего. Да и эту книгу помню довольно плохо: последний раз брал ее в руки где-то четверть века назад.

[profrotter]

Alex-Yu в сообщении #544775 писал(а):

Ну вот видите, и никакой литературы не потребовалось

Так уж сложилось на форуме: одни делают очевидные утверждения, а profrotter за них ищет доказательства.

Что касается теоремы о свёртке. Там достаточно, чтобы один из сигналов имел ограниченный спектр и тогда тоже можно будет сделать перестановку интегралов не заботясь о сходимости. Так что теорема о свёртке работает. Расписывать подробнее - лениво.

Ну,ждём автора темы и начинаем подробно доказывать теорему Котельникова разными способами или не начинаем...

[Alex-Yu]

profrotter в сообщении #544830 писал(а):

начинаем подробно доказывать теорему Котельникова разными способами

Вы думаете ему это надо? Мне, к примеру, точно не надо. Ну разве что в качестве интеллектуального развлечения. Не надо думать, что раз в физике, технике и т.п. используются символы, похожие на математические, то там и стиль мышления тоже должен быть математический. Математика -- одна наука, физика -- совсем другая. Между ними, собственно, мало чего общего. Вы можете сколь угодно строго математически что-то доказывать, но применительно к физическим проблемам в этом нет ни малейшей убедительности. В физике слово "доказать" имеет абсолютно другой смысл. Впрочем, среди физиков существует подвид, называемый "теоретики", некоторые из которых с пониманием относятся к математике со всеми ее "заморочками". Но мне еще не приходилось видеть математиков, которые бы хоть что-нибудь понимали в физике. Может мне просто не повезло

[Himfizik]

(Оффтоп)

Alex-Yu в сообщении #544835 писал(а):

Математика -- одна наука, физика -- совсем другая.

Эка, Вы сказали. Слово "совсем" - по-моему, здесь чересчур. Зачем же так антагонизировать. Вот физика и какая-нибудь там энтомология - совсем разные дисциплины; а математика, которая то ли царица наук, то ли королевна, то ли просто служанка физики (до сих пор путаю, здесь прошу извинить меня математиков) с физикой, в общем-то, дружны.

[Alex-Yu]

Himfizik в сообщении #544884 писал(а):

а математика, которая то ли царица наук, то ли королевна, то ли просто служанка физики

Это распространенное заблуждение. На самом деле то, что мы, физики, называем "математикой" -- это вообще не математика. Это наша собственная, физическая "квазиматематика". Ни один математик ничего не сможет понять в курсе Ландау-Лифшица. Я сам в свое время (очень давно) ничего не мог понять, пока не "поломал" свой стиль мышления. Хотя я не был математиком. Всего лишь в детстве в математической спецшколе заложили лишь самые зачатки математического стиля мышления.

[Himfizik]

(Оффтоп)

Alex-Yu в сообщении #544931 писал(а):

На самом деле то, что мы, физики, называем "математикой" -- это вообще не математика. Это наша собственная, физическая "квазиматематика".

Я догадываюсь, что Вы имеете в виду. Но, по-моему, Вы немного обостряете, говоря:

Alex-Yu в сообщении #544931 писал(а):

это вообще не

Alex-Yu в сообщении #544835 писал(а):

совсем

Alex-Yu в сообщении #544835 писал(а):

мало чего общего

Создается впечатление, что между математикой и физикой такая огромная пропасть, что провалиться нам в этой пропасти и не смочь увидеть связующее: математика - язык физики, хотя и не способ мысли.

[Munin]

(Оффтоп)

Himfizik в сообщении #544884 писал(а):

а математика... с физикой, в общем-то, дружны.

Токио с Москвой тоже города-побратимы, а города совершенно разные.

[Alex-Yu]

(Оффтоп)

Himfizik в сообщении #544938 писал(а):

Вы немного обостряете, говоря:

Этого мало кто понимает. Поэтому приходится обострять.

-- Вс мар 04, 2012 01:18:29 --

Himfizik в сообщении #544938 писал(а):

Создается впечатление, что между математикой и физикой такая огромная пропасть, что провалиться нам в этой пропасти и не смочь увидеть связующее: математика - язык физики, хотя и не способ мысли.

Пропасть именно огромная: физика -- наука индуктивная, экспериментальная (даже когда она оперирует с квазиматематическими символами), а математика -- дедуктивная. Во всяком случае в бОльшей своей части. Особенно мне не нравится утверждение "математика -- служанка физики". Или даже лишь "язык". Это просто разные науки. Может даже физика -- служанка математики (как поставщик вопросов).

P.S. А как делать "офтоп"? А то неудобно как-то открыто писать.

[Munin]

(Оффтоп)

Alex-Yu в сообщении #544952 писал(а):

P.S. А как делать "офтоп"?

тег [ off ] [ /off ] или даже кнопочка такая, если у вас есть.

[profrotter]

Alex-Yu в сообщении #544835 писал(а):

Не надо думать, что раз в физике, технике и т.п. используются символы, похожие на математические, то там и стиль мышления тоже должен быть математический.

Но именно математическое доказательство теоремы Котельникова Вы привели в самом начале.

По секрету расскажу Вам, как мы, радиофизики, доказываем теорему Котельникова.

Теорема
Синал $s(t)$, со спектром, ограниченным частотой $\omega_m$ полностью определяется своими отсчётами $\left\{s(nT)\right\}_{n=-\infty}^{+\infty}$, взятыми с шагом $T\leq\frac{\pi}{\omega_m}$ и может быть представлен рядом Котельникова:

$$s(t)=\sum\limits_{n=-\infty}^{+\infty}s(nT)sinc\left(\frac {\pi}{T}(t-nT)\right).$$

Доказательство:
При выполнении условий теоремы спектр дискретного сигнала содержит копию спектра исходного сигнала с коэффициентом $\frac 1 T$, которая может быть выделена фильтром нижних частот (ФНЧ). Рассмотрим в качестве такого фильтра идеальный фильтр нижних частот с комплексной частотной характеристикой $H(\omega)=Trect\left(\frac {\omega}{2\omega_c}\right)$. Анализ структуры спектра дискретного синала показывает, что выделение спектра исходного сигнала обеспечивается при частоте среза фильтра, равной половине частоты дискретизации $\omega_c=\frac {\omega_d}{2}=\frac {\pi}{T}$. Рассматривая обратное преобразование Фурье от КЧХ ФНЧ, нетрудно установить, что его импульсная характеристика описывается выражением:

$$h(t)=sinc\left(\frac {\pi}{T}t\right).$$

Имея в виду принцип суперпозиции и рассматривая прохождение дискретного сигнала

$$s_d(t)=\sum\limits_{n=-\infty}^{+\infty}s(nT)\delta(t-nT)$$

через ФНЧ, для сигнала на выходе запишем:

$$s(t)=\sum\limits_{n=-\infty}^{+\infty}s(nT)h(t-nT)=\sum\limits_{n=-\infty}^{+\infty}s(nT)sinc\left(\frac {\pi}{T}(t-nT)\right).$$

[Alex-Yu]

profrotter в сообщении #544970 писал(а):

По секрету расскажу Вам, как мы, радиофизики, доказываем теорему Котельникова.

Мне не понравилось такое доказательство. Хотя я его понимаю. Не понравилось именно его математическим стилем.

Ну а то, что выделить аналоговый сигнал можно с помощью ФНЧ -- и так понятно. Если помнить, что ФНЧ во временной области делает свертку с функцией вида $\sin x/x$. Кстати, отсюда сразу видно, что идеальный ФНЧ просто обязан иметь бесконечную задержку. Как-то пришлось мне это объяснять радиотехническому доценту, который нагородил черт знает что по поводу причинности

Я не радиофизик. Но кроме того, что физик, еще и инженер-радиотехник (совершенно отдельно)

Кстати, на счет перекрытия спектров можно все объяснить вообще без формул на радиотехническом языке. Цифровой сигнал -- это амплитудная модуляция (точнее DSB) своего рода "несущей" в виде последовательности коротких импульсов. Такая несущая имеет бесконечный дискретный спектр (включая нулевую частоту). При модуляции образуются боковые полосы. Которые начинают перекрываться если спектр модулирующих частот больше половины частоты основной гармоники несущей. Ну а если не больше, то пропустите через ФНЧ, отсеките лишнее и получите исходый аналоговый сигнал.

[profrotter]

Alex-Yu в сообщении #544976 писал(а):

Кстати, отсюда сразу видно, что идеальный ФНЧ просто обязан иметь бесконечную задержку.

Идеальный ФНЧ ничего не обязан. Он просто физически нереализуем (ввиду нарушения принципа причинности, поскольку реакция такого фильтра должна иметь место раньше, чем будет воздействие). Стиль изложения доказательства может быть любым, но нельзя без математики доказать математическую теорему, в которой рассматривается по сути восстановление физически нереализуемого аналогового сигнала путём преобразования физически нереализуемого дискретного сигнала физически нереализуемым фильтром. Пояснить качественно процесс восстановления сигнала можно. Можно поставить опыт с каким-либо ФНЧ и тд, но чтобы записать сам ряд Котельникова нужна в той или иной форме математика. Так положено - так люди получают формулы.