т.Котельникова:почему спектр дискретного сигнала периодичен?

[profrotter]

epros, и скажите зачем нам столько аксиом, когда структуру спектра дискретного сигнала можно вполне себе установить не используя теорему о свёртке, как я это делаю несколькими сообщениями выше в сообщении #543765?

[epros]

profrotter в сообщении #543825 писал(а):

epros, и скажите зачем нам столько аксиом

Разве это так много? По-моему, эти вещи любой практик в области обработки сигналов должен знать наизусть. Поэтому я и назвал их "аксиомами". А вот их строгое математическое доказательство имхо практику знать и не обязательно.

[profrotter]

epros в сообщении #543854 писал(а):

profrotter в сообщении #543825 писал(а):

epros, и скажите зачем нам столько аксиом

Разве это так много? По-моему, эти вещи любой практик в области обработки сигналов должен знать наизусть. Поэтому я и назвал их "аксиомами". А вот их строгое математическое доказательство имхо практику знать и не обязательно.

Как раз любой практик совершенно не должен. Все эти, красиво называемые Вами, решётки Дирака нужны только для того, чтобы математически описать дискретный сигнал и установить взаимосвязь между спектрами исходного сигнала и соответствующего ему дискретного сигнала. Далее сформулировать условия при котором возможно восстановление сигнала, доказать теорему Котельникова и понять, что восстановление сигнала может быть выполнено с помощью фильтра нижних чатстот. Когда это сделано все решётки Дирака остаются за бортом. Именно за бортом практики. Сама же практика во-первых, предполагает использовать в качестве НИП именно периодическую последовательность прямоуольных импульсов, а во-вторых практика цифровой обработки сигналов включает решение задач поиска алгоритмов обработки сигналов, в частности цифровой фильтрации и тп. При этом уже понятие сигнала оказывается обобщённым: дискретный сигнал чаще всего рассматривается не как физический процесс, а как совокупность данных, хранящихся в памяти ЭВМ.

А вообще, боюсь, мы с Вами уже стоим на пороге нового подхода в области физики, который предполагает в тех случаях, когда имеются сомнения в математической корректности рассуждений, закрывать глаза и, прикрываясь нуждами якобы практики, незамедлительно формировать целые наборы аксиом.

[Himfizik]

(Оффтоп)

profrotter в сообщении #543868 писал(а):

А вообще, боюсь, мы с Вами уже стоим на пороге нового подхода в области физики, который предполагает в тех случаях, когда имеются сомнения в математической корректности рассуждений, закрывать глаза и, прикрываясь нуждами якобы практики, незамедлительно формировать целые наборы аксиом.

Да уж, неплохой подход... иногда приходится использовать...

[R-o-m-e-n]

Groging в сообщении #543364 писал(а):

Разбираюсь с теоремой Котельникова - не очень понимаю её доказательства, а именно пункта, который описан там как очевидный - то, что спектр дискретного сигнала каким-то образом становится периодичным.

По-моему, Вы споткнулись не на теореме Котельникова, а чуток раньше - на представлении Фурье-образа функции. Либо понятие дискретного сигнала восприняли в слишком узком смысле ограниченного дискретного сигнала.

[epros]

profrotter в сообщении #543868 писал(а):

А вообще, боюсь, мы с Вами уже стоим на пороге нового подхода в области физики, который предполагает в тех случаях, когда имеются сомнения в математической корректности рассуждений, закрывать глаза и, прикрываясь нуждами якобы практики, незамедлительно формировать целые наборы аксиом.

Конечно же чисто математически можно придумать такую функцию сигнала, к которой будет неприменимо само понятие спектра. Только это явно не то, что подразумевалось в постановке физической (или технической) задачи.

[profrotter]

epros в сообщении #544077 писал(а):

:?: Конечно же чисто математически можно придумать такую функцию сигнала, к которой будет неприменимо само понятие спектра. Только это явно не то, что подразумевалось в постановке физической (или технической) задачи.

Это тут совершенно не при чём. Вообще при рассмотрении теоремы Котельникова приходится иметь дело именно с физически нереализуемыми сигналами. Повторюсь: в теореме Котельникова рассматриваются сигналы с ограниченным спектром. Такие сигналы имеют неограниченную длительность и потому являются физически нереализуемыми, ибо всякий физически реализуемый сигнал имеет начало и завершение. Более того, теорема Котельникова охватывает и случаи дискретизации периодических сигналов с ограниченным спектром (т.н. многотональные или многочастотные сигналы вида $s_p(t)=\sum\limits_{k=0}^{N-1}A_n\cos(\omega_nt+\varphi_n)$), которые тоже являются физически нереализуемыми, не только потому, что неограничены во времени, но и имеют бесконечную энергию. Ко всем перечисленным сигналам применимо понятие спектральной плотности чуть более, чем к сигналу в виде решётки Дирака, который мало того что неограничен во времени, имеет неограниченную энергию, так ещё и неопределён в некоторых точках. Так что, если и начинать "геноцид" сигналов, то первой жертвой справедливо должна оказаться столь любимая Вами решётка Дирака.

Поэтому все высказывания о какой-либо практической целесообразности при рассмотрении теоремы Котельникова, мягко говоря, неуместны: сама теорема формулируется и доказывается для физически нереализуемых сигналов, то есть должна рассматриваться на чисто математическом уровне и доказываться математически-корректно. А вот полученные результаты уже можно подгонять под нужды практики, размышляя о возможности восстановления сигнала с неограниченным спектром с той или иной степенью точности.

Вот, скажем, я вступил в Ваше тайное общество аксиоматиков. И хочу найти спектральную плотность произведения двух периодических сигналов: $s(t)=g(t)f(t)=\cos(\omega_1t)\cos(\omega_2t)$. Спектр каждого из сигналов известен $G(\omega)=\pi\delta(\omega+\omega_1)+\pi\delta(\omega-\omega_1)$ и $F(\omega)=\pi\delta(\omega+\omega_2)+\pi\delta(\omega-\omega_2)$. Поскольку мы приняли за аксиому, что произведению двух сигналов соответствует свёртка их спектров, я смело пишу: $S(\omega)=\frac 1 {2\pi}\int\limits_{-\infty}^{+\infty}G(\omega')F(\omega-\omega')d\omega'=...$ Не буду дальше загромождать. Скажите, как мне быть с интегралом вида $\int\limits_{-\infty}^{+\infty}\delta(\omega'+\omega_1)\delta(\omega-\omega'+\omega_2)d\omega'$? Я такое нигде не встречал...

[Alex-Yu]

profrotter в сообщении #544379 писал(а):

Скажите, как мне быть с интегралом вида $\int\limits_{-\infty}^{+\infty}\delta(\omega'+\omega_1)\delta(\omega-\omega'+\omega_2)d\omega'$?

С таким интегралом нет никаких проблем. Ответ: $\delta(\omega+\omega_1+\omega_2)$. Хотя, конечно, чисто математически это нонсенс. Но это только чисто математически, на самом деле ответ правильный

Могу пояснить как в таких случаях рассуждает нормальный физик. Как только он видит такие патологические выражения, он понимает, что сама постановка задачи патологическая. Значит надо прейти к более осмысленной постановке задачи. Например перейти от чисто синусоидальных сигналов к физически боее разумным. Ну действительно, где в реальной жизни вы видели чисто синусоидальный сигнал??? Хорошей иллюстрацией к этой истории может служить исправление ошибки Власова, что когда-то сделал Ландау в теории плазмы. И открыл при этом затухание своего имени

[profrotter]

Alex-Yu в сообщении #544414 писал(а):

С таким интегралом нет никаких проблем. Ответ: $\delta(\omega+\omega_1+\omega_2)$. Хотя, конечно, чисто математически это нонсенс. Но это только чисто математически, на самом деле ответ правильный

Могу я поинтересоваться: это ещё одна аксиома или как? Не могли бы вы дать мне ссылку на литературу, где бы можно было понаблюдать за манипуляциями с такими интегралами?

[Alex-Yu]

profrotter в сообщении #544499 писал(а):

Могу я поинтересоваться: это ещё одна аксиома или как?

Опять аксиома... Ох, ну и тяжелый же это люд -- математики. Все им аксиомы-теоремы подавай. Не бывает в физике ни аксиом ни теорем, объяснял же уже Замечательно об этом сказал довольно известный физик-теоретик по фамилии Займан. По памяти, так что дословную точность не гарантирую. "Нет ничего более отвратительного для нормального человека, чем клиническая последовательность аксиом, определений и теорем, порождаемая чистыми математиками".

Ну а откуда эта формула, каждый может убедиться самостоятельно. Через предел. Но, естественно, не поточеный а так называемый "слабый". Берете, заменяете дельта-функцию на ее регуляризацию, вычисляете интеграл а потом переходите к слабому пределу. Заодним можете исследовать вопрос: а при любых ли регуляризациях получается эта формула. Я знаю лишь то, что она работает при физически осмысленных регуляризациях. Может при каких-то нефизических и не работает, но до них физику нет никакого дела Впрочем, бывают специальные случаи (в значительно более сложных теориях), когда такой прямолинейный подход оказывается несправедливым. Пример -- квантовая аномалия в КТП. Точнее там приходится специально исследовать зависимость от типа регуляризации и выбирать "правильную" из физических (но никак не математических) соображений.

[epros]

profrotter в сообщении #544379 писал(а):

Такие сигналы имеют неограниченную длительность и потому являются физически нереализуемыми

Это не имеет значения. Речь была не о "реализуемости", а о применимости понятия спектра. Про физическую реализуемость говорить бессмысленно, поскольку практически любая абстрактная математическая модель в буквальном смысле "нереализуема": Синус тоже невозможно реализовать "буквально", потому что он бесконечен по времени. Тем не менее, синус имеет физический смысл.

profrotter в сообщении #544379 писал(а):

Скажите, как мне быть с интегралом вида $\int\limits_{-\infty}^{+\infty}\delta(\omega'+\omega_1)\delta(\omega-\omega'+\omega_2)d\omega'$?

А какие проблемы? У физиков - никаких, потому что дельта функцию всегда можно считать пределом последовательности функций определённого вида (например, колоколообразной формы).

[profrotter]

Alex-Yu,epros, ещё раз: Приведите пожалуйста ссылочку на литературу, где бы был выписан похожий беспроблемный интеграл. Напоминаю, мы в учебном разделе.

[Alex-Yu]

profrotter в сообщении #544537 писал(а):

Приведите пожалуйста ссылочку на литературу

Вот еще помнил бы я ссылки на такие банальности... Сами выведите. У Вас голова или этажерка для книг?

Впрочем, посмотрите второй том Рида и Саймона. Если мне не изменяет память, то свертка там обобщалась по меньшей мере на пространство Шварца. Причем в строго математическом смысле.

[profrotter]

Alex-Yu в сообщении #544538 писал(а):

Вот еще помнил бы я ссылки на такие банальности... Сами выведите. У Вас голова или этажерка для книг?

Я слышал, что в учебном разделе не место фантазиям участников. Если Вы берётесь что-то утверждать, то это должно быть отражено в учебниках. А вывести ничего не получиться, потому, что по определению дельта-функция определяется соотношением

$$\int\limits_{-\infty}^{+\infty}\delta(t)\varphi(t)dt=\lim\limits_{n\to+\infty}\int\limits_{-\infty}^{+\infty}s_{\delta}(n,t)\varphi(t)dt=\varphi(0),$$

где $s_{\delta}(n,t)$ - регулярная последовательность, $\varphi(t)$ - пробная функция. Понимаете? - Определение отнюдь не говорит о том, что везде, где нам захочется объявить себя физиками-практиками-аксиоматиками, можно делать замену вида $\delta(t)=\lim\limits_{n\to+\infty}s_{\delta}(n,t)$, как в последнем сообщении предложил epros. Ладно я вижу в полемике начинается хамство, потому вынужден выйти из неё.

[epros]

(Оффтоп)

profrotter в сообщении #544543 писал(а):

Ладно я вижу в полемике начинается хамство, потому вынужден выйти из неё.

Надеюсь, это не про меня? Я стараюсь быть максимально корректным.

profrotter в сообщении #544543 писал(а):

дельта-функция определяется соотношением

$$\int\limits_{-\infty}^{+\infty}\delta(t)\varphi(t)dt=\lim\limits_{n\to+\infty}\int\limits_{-\infty}^{+\infty}s_{\delta}(n,t)\varphi(t)dt=\varphi(0),$$

где $s_{\delta}(n,t)$ - регулярная последовательность, $\varphi(t)$ - пробная функция. Понимаете? - Определение отнюдь не говорит о том, что везде, где нам захочется объявить себя физиками-практиками-аксиоматиками, можно делать замену вида $\delta(t)=\lim\limits_{n\to+\infty}s_{\delta}(n,t)$, как в последнем сообщении предложил epros.

Ну так примените это определение к Вашему интегралу. Где Вы тут увидели проблему? Вот смотрите:

$\int\limits_{-\infty}^{+\infty} \varphi(\omega) [\int\limits_{-\infty}^{+\infty}\delta(\omega'+\omega_1)\delta(\omega-\omega'+\omega_2)d\omega'] d\omega = $

$\lim\limits_{m,n\to+\infty} \int\limits_{-\infty}^{+\infty}\varphi(\omega) [\int\limits_{-\infty}^{+\infty}s_{\delta}(n,\omega'+\omega_1) \, s_{\delta}(m,\omega-\omega'+\omega_2) d\omega'] d\omega = $

$\int\limits_{-\infty}^{+\infty} \varphi(\omega) \delta(\omega + \omega_2 - \omega_1) d\omega$