Сравнить два числа

[DiVMag]

$2^{\sqrt{5}}$ и $3^{\sqrt{2}}$

Допускается использовать только школьную математику (олимпиадная задача 10-го класса в 1985 году, до сих пор не могу решить )

[Юстас]

Например, возведём оба числа в степень $\sqrt 2$. Сравним $2^{\sqrt 10}$ и $9$

$$\sqrt 10=3+\sqrt 10 -3=3+\frac{1}{3+\sqrt 10}<3+\frac 1 6=\frac {19}{6}$$

Теперь осталось показать, что число $2^{\frac {19} {6}}$ меньше $9$, или, возводя в 6 степень, $2\cdot 8^6 < 9^6$, это проверить уже просто.

[Юстас]

Самая известная задача данного типа: без калькулятора сравнить $e^{\pi}$ и $\pi^e$. Кто какие способы знает?

[Lion]

Мне известны два.

1. Рассмотрим функцию $f(x)=x-e\ln x$. Ее производная положительна при $x>e$, поэтому на этом интервале она возрастает. Т.к. $f(e)=0$, то $f(x)>0$ при $x>e$. Подставляя $x=\pi>e$, получаем требуемое.

2. При $x>0$ верно неравенство $e^x>1+x$. Подставляя $x=\pi/e-1>0$, получаем требуемое.

[Brukvalub]

Сводится к исследованию функции

\[ y = \frac{{\ln x}}{x} \]

которая максимальна в точке е.

[Lion]

Раз уж мы заговорили о неравенствах, предлагаю попробовать сравнить без калькулятора следующие числа:
$\left(\frac{\pi+e}{2}\right)^{\pi+e}$ и $\pi^{\pi}\cdot e^e$.

[RIP]

Lion писал(а):

Раз уж мы заговорили о неравенствах, предлагаю попробовать сравнить без калькулятора следующие числа:
$\left(\frac{\pi+e}{2}\right)^{\pi+e}$ и $\pi^{\pi}\cdot e^e$.

$\left(\frac{\pi+e}{2}\right)^{\pi+e}<\pi^{\pi}\cdot e^e$, т.к. функция $f(x)=x\ln x$ строго выпуклая книзу на $(0;+\infty)$.

[RIP]

Ещё одна забавная* задачка на сравнение 2 чисел без калькулятора/компьютера/итп.
Сравнить $\sqrt5+\sqrt{22+2\sqrt5}$ и $\sqrt{11+2\sqrt{29}}+\sqrt{16-2\sqrt{29}+2\sqrt{55-10\sqrt{29}}}$.

(примечание *)

забавный в ней ответ

[arseniiv]

(Оффтоп)

RIP в сообщении #623621 писал(а):

забавный в ней ответ

Равны?
Ага, забираю свои слова назад.

[nnosipov]

RIP в сообщении #623621 писал(а):

Сравнить $\sqrt5+\sqrt{22+2\sqrt5}$ и $\sqrt{11+2\sqrt{29}}+\sqrt{16-2\sqrt{29}+2\sqrt{55-10\sqrt{29}}}$.

Иными словами, как упрощать трижды вложенные радикалы. На этот счёт у меня целая статья имеется :) В системах компьютерной алгебры этот вопрос решён, но как-то странно. Если Вы попросите Maple упростить разность $a-b$ ($a$ и $b$ --- данные числа), то он упростит до правильного ответа. Но если Вам захочется упростить только число $b$ (то, которое более длинное), то ничего не выйдет.

[Sonic86]

(решение)

Последний корень извлекается, получается
$\sqrt5+\sqrt{22+2\sqrt5}\star\sqrt{11+2\sqrt{29}}+\sqrt{5}+\sqrt{11-2\sqrt{29}}$
$\Leftrightarrow\sqrt{22+2\sqrt5}\star\sqrt{11+2\sqrt{29}}+\sqrt{11-2\sqrt{29}}$
Возводим в квадрат, все сокращается.

Прикольно