Решить в целых числах

[BARABUMBA]

$4\cdot3^x-35=y^2$
Может 35 вправо, $y^2$ влево и представить левую часть как произведение?

[Sonic86]

BARABUMBA в сообщении #544932 писал(а):

Может 35 вправо, $y^2$ влево и представить левую часть как произведение?

Это если $x$ четно, то да и там легко перебором решается (будет $4$ решения).
А если $x$ нечетно? А в этом случае берем $x=2k+1$ и проверяем наличие решений по модулю $5$.
(проверьте меня, могу наврать легко)

[Батороев]

Sonic86 в сообщении #545075 писал(а):

BARABUMBA в сообщении #544932 писал(а):

Может 35 вправо, $y^2$ влево и представить левую часть как произведение?

Это если $x$ четно, то да и там легко перебором решается (будет $4$ решения).

Если $x$ - четно, то $35=(2\cdot 3^{\frac{x}{2}})^2-y^2$, т.е. получаем разложение составного числа $35$ на разность квадратов. А это - 2 решения.

-- 04 мар 2012 12:56 --

Похоже, далее для нечетных $x$ можно использовать остатки по основанию $7$.

[Shadow]

Может. При четных x. С нечетными проблема. Проверка по простому модулю поможет.

-- 04.03.2012, 08:30 --

Батороев и петерка подходит

[BARABUMBA]

Sonic86 в сообщении #545075 писал(а):

А в этом случае берем $x=2k+1$ и проверяем наличие решений по модулю $5$.

Как это?Что значит по модулю 5?

[Sonic86]

BARABUMBA в сообщении #545167 писал(а):

Как это?Что значит по модулю 5?

Это в смысле рассмотреть всевозможные остатки от деления на 5. Их конечное число, делается ручками. Очень удобный инструмент.
Кратко здесь: http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A1%D1% ... 0%BB%D1%8E
Полнее: Бухштаб Теория чисел.

[ewert]

BARABUMBA в сообщении #545167 писал(а):

Что значит по модулю 5?

Для квадратов остатки от деления на 5 -- это или 0, или 1, или 4. А для первого слагаемого в левой части (и, значит, для всей неё) -- это или 2, или 3 (если показатель над тройкой нечётен). Что легко проверяется, скажем, по индукции, даже если не знать теории. Но лучше всё-таки знать хоть её зачатки -- иначе просто невозможно сообразить, в какую сторону думать.

[BARABUMBA]

ewert в сообщении #545249 писал(а):

Для квадратов остатки от деления на 5 -- это или 0, или 1, или 4. А для первого слагаемого в левой части (и, значит, для всей неё) -- это или 2, или 3 (если показатель над тройкой нечётен).

А для левой части важно только первое слагаемое потому что 35 делится на 5 без остатка? И как получился остаток 2 в левой части?

[Shadow]

BARABUMBA в сообщении #545266 писал(а):

И как получился остаток 2 в левой части?

При $x=1$ получится $4\cdot 3^1=12=10+2$. При $x=3$ остаток будет 3. И так будут чередоватся остатки 2 и 3 при нечетных х.

[Батороев]

Shadow в сообщении #545089 писал(а):

Батороев и петерка подходит

Я хотел написать про остатки по основанию 7 слово "также", но отвлекли на обед.

[BARABUMBA]

Shadow в сообщении #545278 писал(а):

При $x=1$ получится $4\cdot 3^1=12=10+2$. При $x=3$ остаток будет 3. И так будут чередоватся остатки 2 и 3 при нечетных х.

И значит, если остатки не совпадают, то решений при нечётном $x$ нету?

[Shadow]

Конечно. Потому что уравнение $5a+2=5b+1$ (и все другие комбинации влево 2 и 3, вправо 0, 1,4) не имеют решений в целых.