Берется ли такой интеграл?

[number_one]

Нужно вычислить длину дуги кривой $r=2+2\cos \varphi$

Для этого я брал интеграл

$$l=\int\limits_0^{2\pi}\sqrt{(2+2\cos \varphi)^2+(-2\sin\varphi)^2}\;d\varphi=2\int\limits_0^{2\pi}\sqrt{2+\cos\varphi}\;d\varphi$$

Берется ли такой интеграл?

$$\int\limits_0^{2\pi}\sqrt{2+\cos\varphi}\;d\varphi$$

[gris]

Попробуйте сделать замену $2t=\varphi$

[ewert]

Он эллиптический.

[bot]

А толку? Эллиптическим он от этого не перестанет быть.

[GAA]

number_one, Вы опечатались при наборе формулы или допустили ошибку. Тот интеграл, который должен получится в этой задаче, берется в элементарных функциях.

[bot]

Точно - перед косинусом двойка должна быть. Тогда по grisу

[number_one]

Спасибо, да пропустил двойку. А может ли длина быть нулевой?

$$l=\int\limits_0^{2\pi}\sqrt{(2+2\cos \varphi)^2+(-2\sin\varphi)^2}\;d\varphi=\int\limits_0^{2\pi}\sqrt{4+8\cos \varphi+4\cos^2\phi+4\sin^2\varphi}\;d\varphi=2\sqrt 2\int\limits_0^{2\pi}\sqrt{1+\cos\varphi}\;d\varphi=$$

$$=4\int\limits_0^{2\pi}\cos\frac{\varphi}{2}\;d\varphi=8\int\limits_0^{\pi}\cos\frac{\varphi}{2}\;d\frac{\varphi}{2}=8\sin\frac{\varphi}{2}\Bigg|_0^\pi=0$$

[ewert]

Переход от первой строчки ко второй типично ошибочен.

[number_one]

ewert в сообщении #544889 писал(а):

Переход от первой строчки ко второй типично ошибочен.

Ох, да, спасибо (нашел ошибку). Вы не поверите - у меня все равно ноль получается!

$$l=\int\limits_0^{2\pi}\sqrt{(2+2\cos \varphi)^2+(-2\sin\varphi)^2}\;d\varphi=\int\limits_0^{2\pi}\sqrt{4+8\cos \varphi+4\cos^2\phi+4\sin^2\varphi}\;d\varphi=2\sqrt 2\int\limits_0^{2\pi}\sqrt{1+\cos\varphi}\;d\varphi=$$

$$=\begin{bmatrix} t=1+\cos\varphi & dt=-\sin\varphi \;d\varphi\\ \varphi=\arccos(t-1) & 2\le t\le 2 & d\varphi=-\frac{dt}{\sqrt{1-(t-1)^2}} \\ \end{bmatrix}=$$

$$=-\int_2^2\frac{\sqrt{t}\;\;dt}{\sqrt{1-(t-1)^2}}=0$$

Он же должен быть равен нулю, так как верхние пределы совпадают!

[ewert]

А теперь другая типичная ошибка -- замена некорректна из-за немонотонности функции. Лучше попытайтесь исправить первую.

[number_one]

$$l=\int\limits_0^{2\pi}\sqrt{(2+2\cos \varphi)^2+(-2\sin\varphi)^2}\;d\varphi=\int\limits_0^{2\pi}\sqrt{4+8\cos \varphi+4\cos^2\phi+4\sin^2\varphi}\;d\varphi=2\sqrt 2\int\limits_0^{2\pi}\sqrt{1+\cos\varphi}\;d\varphi=$$

$$=4\int\limits_0^{2\pi}\sqrt{\cos\frac{\varphi}{2}}\;d\varphi=8\int\limits_0^{\pi}\sqrt{\cos\frac{\varphi}{2}}\;d\frac{\varphi}{2}=8\int\limits_0^{\pi}\dfrac{\cos\frac{\varphi}{2}\;\;d\frac{\varphi}{2}}{\sqrt{\cos\frac{\varphi}{2}}}=0$$

А как дальше, что можно сделать? Напрашивается только немонотонное внесение под дифференциал $d\Big(\sin\frac{\varphi}{2}\Big)=\cos\frac{\varphi}{2}\;\;d\frac{\varphi}{2}$. Но ведь так нельзя?

-- 03.03.2012, 18:33 --

А можно ли проделывать такой трюк?

Допустим мы хотим взять $\displaystyle\int\limits_0^{2\pi}\sqrt{1+\cos\varphi}\;d\varphi$

Рассматриваем неопределенный интеграл $\displaystyle\int\sqrt{1+\cos\varphi}\;d\varphi$

Заменой $t=1+\cos\varphi$ вычисляем его, возвращаемся к переменной $\varphi$ и получаем

$\displaystyle\int\sqrt{1+\cos\varphi}\;d\varphi=F(\varphi)+C$

Можно ли сказать, что $\displaystyle\int\limits_0^{2\pi}\sqrt{1+\cos\varphi}\;d\varphi=F(\varphi)\Bigg|_0^{2\pi}$ ?

(уже неактуально)

Можно ли сделать так, чтобы интеграл выглядел красиво с одним долларом (в строчке, а не центрированно)? Или только с двумя можно?
$\int$ -- как-то не эстетично. Красиво

$$\int$$

Dan B-Yallay в сообщении #544911 писал(а):

$\displaystyle\int$

$\displaystyle\int$

Спасибо, исправил теперь!

[Dan B-Yallay]

(Оффтоп)

$\displaystyle\int$

$\displaystyle\int$

[bot]

number_one в сообщении #544906 писал(а):

Можно ли сказать, что

Можно сказать, но вся заковыка в том, что первообразную Вы находите неправильно, а ключик ещё в школе потеряли.

-- Вс мар 04, 2012 00:15:39 --

Вам ведь даже место ошибки показали.

[ewert]

number_one в сообщении #544906 писал(а):

Можно ли сказать, что $\displaystyle\int\limits_0^{2\pi}\sqrt{1+\cos\varphi}\;d\varphi=F(\varphi)\Bigg|_0^{2\pi}$ ?

Конечно можно. Смотря что понимать под $F(\varphi)$. У нас ведь свободная страна, и никто никому не может запретить думать в какую угодно сторону. Только вот в эту -- лучше не надо.

Лучше подумайте, чему в точности равен $\sqrt{1+\cos\varphi}$.

[number_one]

bot в сообщении #544926 писал(а):

number_one в сообщении #544906 писал(а):

Можно ли сказать, что

Можно сказать, но вся заковыка в том, что первообразную Вы находите неправильно, а ключик ещё в школе потеряли.

-- Вс мар 04, 2012 00:15:39 --

Вам ведь даже место ошибки показали.

Ну я ведь исправил в предыдущем сообщении, там опять неправильно?

ewert в сообщении #544942 писал(а):

Конечно можно. Смотря что понимать под $F(\varphi)$. У нас ведь свободная страна, и никто никому не может запретить думать в какую угодно сторону. Только вот в эту -- лучше не надо.

Лучше подумайте, чему в точности равен $\sqrt{1+\cos\varphi}$.

$\sqrt{1+\cos\varphi}=\sqrt{\cos 0+\cos\varphi}=\sqrt{2\cos\frac{\varphi}2\cos\frac{\varphi}2}=\sqrt{2}\cdot \big|\cos\frac{\varphi}2\big|$