[Литература] Теория категорий

[bundos]

Какая нужна предварительная подготовка, чтобы текст по теории категорий был понятен? Какую книгу посоветуете почитать? Где по этой самой штуке можно найти задачи? Спасибо.

________________________________________
// Близкая тема: «Учебник по теории категорий» / GAA, 7.09.13

[apriv]

bundos в сообщении #544909 писал(а):

Какая нужна предварительная подготовка, чтобы текст по теории категорий был понятен? Какую книгу посоветуете почитать? Где по этой самой штуке можно найти задачи? Спасибо.

Смотря для чего она Вам нужна. Понемногу обо всем — Saunders Mac Lane, ‘Categories for the Working Mathematician’. Для собственно теории категорий никакой подготовки не требуется, но полезно иметь в виду много примеров, и для этого нужно как-то владеть основными понятиями какой-нибудь области математики.

[bundos]

apriv в сообщении #544910 писал(а):

Смотря для чего она Вам нужна.

Не знаю пока, сказали, что лишнем не будет.

apriv в сообщении #544910 писал(а):

для этого нужно как-то владеть основными понятиями какой-нибудь области математики.

Вот тут можете по подробнее? Что вы имели в виду под "какой-нибудь областью математики"?

[apriv]

bundos в сообщении #544912 писал(а):

Вот тут можете по подробнее? Что вы имели в виду под "какой-нибудь областью математики"?

Основные понятия алгебры не помешают, а кроме того — можно алгебраическую топологию, можно функциональный анализ, можно математическую логику, а можно ничего из вышеперечисленного.

[bundos]

А откуда задачи брать? И всё таки интересно, где эта теория может пригодиться?

[apriv]

bundos в сообщении #544916 писал(а):

А откуда задачи брать? И всё таки интересно, где эта теория может пригодиться?

Есть упражнения в книжке Маклейна, есть, скажем, еще ‘Abstract and Concrete Categories. The Joy of Cats’, там тоже упражнения.
Теория категорий — это язык, на котором разговаривают математики; в ней per se не так много содержания, осмысленного без многочисленных приложений. Раньше математики говорили на языке теории множеств, теперь — на языке теории категорий. Поэтому пригодиться она может абсолютно везде в математике (и не только в математике, но это уже другой разговор).

[Munin]

А есть в ней какое-то своё содержание, которое человек обязан понимать независимо от того, откуда он к теории категорий пришёл, какие-то совершенно стандартные категории или функторы, например?

[apriv]

Munin в сообщении #544979 писал(а):

А есть в ней какое-то своё содержание, которое человек обязан понимать независимо от того, откуда он к теории категорий пришёл, какие-то собвершенно стандартные категории или функторы, например?

Ну, категорию множеств, например, все математики знают. Частично упорядоченное множество как категория — тоже полезное знание, для пределов/копределов пригодится. На этом материале уже можно достаточно осмысленно рассказать про сопряженные функторы, например.

[wallflower]

IMHO, лучше начинать не со скелета, а с мяса. Почитайте учебники по абстрактной алгебре, можно ещё общей топологии. Вы сами заметите, что на некотором более высоком уровне у всяких там теорий групп, теорий колец, линейных алгебр и топологических пространств есть что-то общее. И там и там рассматриваются некоторые пространства (скажем, группы, кольца, векторные и топологические пространства) = объекты, а также специальные отображения между ними (скажем, групповые гомоморфизмы, линейные операторы или непрерывные отображения) = морфизмы. Причём эти объекты и морфизмы обладают некоторыми общими интуитивно очевидными свойствами.

А вот потом уже можно все свои подозрения подкрепить определением категории из любого учебника (можно взять начало из "Лекций по функциональному анализу" Хелемского, соответствующие главы из "Алгебры" Ленга или "Линейной алгебры и геометрии" Кострикина; всякие Маклейны слишком абстрактны).

Идея функторов к тому времени у вас тоже будет сама назревать (взять хотя бы банальное "забывание" групповой структуры, которое из группы делает множество). Её надо будет только закрепить строгим современным определением из учебника.

Аналогично с суммами и произведениями.

Вот только категористы очень высоко забрались от реального мира, и читая Маклейна уже не понимаешь, зачем всё это нужно (скажем, монады). К сожалению, я и сам не знаю. И не знаю книги, которая бы знала. Но, IMHO, если вам нужен лишь ликбез, позволяющий не теряться в современных математических текстах, то этих монад и прочей абстрактной чепухи не нужно.

[apriv]

wallflower в сообщении #545005 писал(а):

Вот только категористы очень высоко забрались от реального мира, и читая Маклейна уже не понимаешь, зачем всё это нужно (скажем, монады). К сожалению, я и сам не знаю. И не знаю книги, которая бы знала. Но, IMHO, если вам нужен лишь ликбез, позволяющий не теряться в современных математических текстах, то этих монад и прочей абстрактной чепухи не нужно.

Забавно, что раньше «абстрактной чепухой» (abstract nonsense) называли вообще все, касающееся категорий и функторов, а теперь к функторам уже привыкли, и «чепуха» отодвинулась в монады. На самом деле, любое разумное математическое понятие возникает не просто так, а с совершенно конкретными целями. Понятие монады, скажем, не менее простое и естественное, чем понятие нильпотентной группы (и более простое и естественное, чем понятие эвклидова кольца).

[bundos]

wallflower в сообщении #545005 писал(а):

Почитайте учебники по абстрактной алгебре, можно ещё общей топологии.

Знаком с ними на уровне университетского курса. Функан учил по Рудину, правда до конца так и не осилил. С алгебраической топологией вообще не знаком. Можно ли читать того же Маклейна или лучше начать с чего по проще?

[apriv]

bundos в сообщении #545032 писал(а):

wallflower в сообщении #545005 писал(а):

Почитайте учебники по абстрактной алгебре, можно ещё общей топологии.

Знаком с ними на уровне университетского курса. Функан учил по Рудину, правда до конца так и не осилил. С алгебраической топологией вообще не знаком. Можно ли читать того же Маклейна или лучше начать с чего по проще?

Думаю, первые главы Маклейна вполне доступны.

[Munin]

(Оффтоп)

bundos в сообщении #545032 писал(а):

С алгебраической топологией вообще не знаком.

Не знаю, вправе ли я рекомендовать, но мне очень нравится двухтомничек Прасолова.

[bundos]

(Munin)

Я не знаю что это и зачем нужно, т.е. стоит ли тратить год или больше на изучение алгебраической топологии? Или достаточно будет прочитать несколько первых глав? Кстати, этот самый двухтомник Прасолова гугл не нашёл.

[Munin]

(bundos)

bundos в сообщении #545127 писал(а):

Я не знаю что это и зачем нужно

Это теория геометрических множеств (областей, поверхностей и т. п.) с дырками, ручками, многолистных комплексных функций и т. п., и того, какие на этих множествах возможны функции, векторные поля, дифференциальные операторы и т. п., в результате наличия этих дырок, ручек и многолистностей. Например, к фактам алгебраической топологии относится, что на плоскости без проколов векторное поле без ротора всегда имеет потенциал, а стоит выколоть одну точку, как появляются непотенциальные решения (и заодно - какие именно). У плоскости с выколотой точкой - другой гомологический тип. У векторного поля на такой плоскости - другой когомологический тип.

bundos в сообщении #545127 писал(а):

Кстати, этот самый двухтомник Прасолова гугл не нашёл.

http://www.poiskknig.ru/cgi-bin/poisk.c ... &network=1
Прасолов. Элементы комбинаторной и дифференциальной топологии. 2004
Прасолов. Элементы теории гомологий. 2004
У меня на поверхностное знакомство ушло гораздо меньше года, хотя не скажу, что меньше недели.