Исследование гипотезы Гильбрайта

[vicvolf]

Немного вводной информации. В 1958 г. Н. Л. Гильбрайт высказал следующее предположение. Если мы выпишем последовательные простые числа, затем в первой строке — разности последовательных простых чисел, во второй — абсолютные величины разностей последовательных чисел первой строки, в третьей — абсолютные величины разностей последовательных чисел второй строки и т. д., то в каждой строке первым числом будет 1. Это предположение получило название гипотезы Гильбрайта. Данная гипотеза до сих пор не доказана.
В работе [1] гипотеза Гильбрайта была подтверждена для 346065536839 последовательных простых чисел. Как отмечалось в работе [2], нет ничего особенного в гипотезе Гильбрайта для простых чисел. Указанными свойствами обладают другие последовательности чисел, начинающиеся с чисел 2.3,…, где разность между рядом стоящими элементами не является слишком большой и достаточно случайна. Поэтому доказательство гипотезы связано с исследованием разности между последовательными простыми числами.
Рассмотрим пример треугольника Гильбрайта, у которого в основании находятся простые числа 2,3,5 и далее нечетные числа с пропусками.
2 3 5 9 17 29 31
1 2 4 8 12 2
1 2 4 4 10
1 2 0 6
1 2 6
1 4
3
Обратим внимание, что в данном примере расстояние между предпоследним числом в основании 29 и предыдущим 17 равно 12, а расстояние между последним числом 31 и предыдущим 29 равно 2 (выделено жирным шрифтом). Таким образом, расстояние уменьшилось, однако первое число в предпоследней строке (под 29) равно 1, а в последней строке (под 31) равно 3. Следовательно, минимального расстояния между последовательными нечетными числами в основании треугольника Гильбрайта еще не достаточно для появления первой единицы в соответствующей строке. В чем же причины этого? Какое мнение у участников форума?
Литература
1. Odlyzko A.M. Iterated absolute values of differences of consecutive primes Math.Comp. 61, 373-380, 1993
2. R. K. Guy, Unsolved problems in number theory, Springer-Verlag, Berlin and New York, 1981

[vicvolf]

Чтобы ответить на этот вопрос, введем следующие обозначения для элементов треугольника Гильбрайта: $P_i$– числа в основании треугольника, под строкой $P_i$ находится строка элементов треугольника $A_1_ {i-1}=P_i- P_{i-1}$, ниже находится строка элементов треугольника $A_2_{i-1}=|A_1_{ i-1}- A_1_{ i-2}|$ и.т.д.
Пусть в основании треугольника Гильбрайта находятся $P_0=2, P_1=3$, и далее нечетные числа с возможными пропусками. Тогда для того, чтобы элементы левой стороны треугольника $A_i_{i-1}=1$, требуется, чтобы элементы $A_i_i = 0$ или $2$. Назовем треугольник Гильбрайта, у которого $A_i_i = 0$ или $2$ сходящимся. Положим четное число $A_i _i =2K_i$, тогда треугольник Гильбрайта будет сходиться, если $K_i$ не более 1.
Вернемся к старому примеру.
2 3 5 9 17 29 31
1 2 4 8 12 2
1 2 4 4 10
1 2 0 6
1 2 6
1 4
3
Данный треугольник расходится, так как $K_5=2>1$. Если рассмотреть треугольник с основанием только 2,3.5,9,17,29, то он будет сходиться, так как все$K_i, i=1,..4$ не более 1.
В случае, если в i-ой строке $A_i_ j>A_i _{j+1}$, то назовем $A_i_{j+1}$ «отрицательной разностью», если $A_i_ j$ не более $A_i_{j+1}$, то назовем $A_i_{j+1}$ «положительной разностью». Сменить отрицательную разность на положительную - это значит заменить элемент $A_i_{j+1}$ на $A_i_j +2A_{i+1}_{ j+1}$. Сменить положительную разность на отрицательную - это значит заменить элемент $A_i_{j+1}$ на $A_i_ j -2A_{i+1}_{ j+1}$.
В примере выше отрицательные разности выделены жирным шрифтом.
Будем считать, что размерность треугольника Гильбрайта - n., если в основании треугольника находится последовательность n чисел.
Введем бинарное отношение ( ~ ) на множестве треугольников Гильбрайта T. Пусть даны два треугольника Гильбрайта t1 и t2, тогда t1~t2,, если выполняются условия:
1. Треугольники Гильбрайта t1 и t2 одной размерности.
2. Для всех элементов треугольников Гильбрайта t1 и t2 выполняется соответственно – $K_i (1)= K_i (2), (i=1,..n)$.
Теорема 1
Бинарное отношение для треугольников Гильбрайта, удовлетворяющих условиям 1, 2 является отношением эквивалентности.
Доказательство
Рефлексивность отношения. Для любого треугольника t из T выполняется t~t, так как размерности треугольников одинаковы и равенство элементов $K_i (i=1,..n)$ очевидно.
Симметричность отношения. Пусть t1~t2, тогда размерности треугольников равны и соответственно – $K_i (1)= K_i (2) (i=1,..n)$. Следовательно, t2~t1.
Транзитивность отношения. Пусть t1~t2 и t2~t3, тогда размерности треугольников равны и соответственно – $K_i (1)= K_i (2)= K_i (3) (i=1,..n)$. Следовательно, t1~t3.
Так как бинарное отношение для треугольников Гильбрайта обладает свойствами рефлексивности, симметричности и транзитивности, то оно является отношением эквивалентности. Указанное отношение эквивалентности разбивает множество T на классы эквивалентности . Обозначим семейство классов эквивалентности {T j}. Будет продолжение. Есть ли вопросы?

[vicvolf]

Модератору - не нашел кнопку редактирование сообшения. Пожалуйста, удалите повторяющуюся часть предыдущего сообщения. Заранее благодарен.
Продолжение. Теоремы 2 и 3 являются следствием теоремы 1.
Теорема 2
1. В случае, если треугольник Гильбрайта t1 из класса эквивалентности Tj сходится, то все остальные треугольники Гильбрайта tk не равные t1 из Tj сходятся.
2. В случае, если треугольник Гильбрайта t1 из класса эквивалентности Tj расходится, то все остальные треугольники Гильбрайта tk не равные t1 из Tj расходятся.
Доказательство
1. Пусть треугольник Гильбрайта t1 из Tj сходится, тогда в t1 для всех элементов 2Ki, на основании определения сходимости треугольников Гильбрайта, выполняется соотношение Ki не более 1. В этом случае, все остальные треугольники Гильбрайта tk не равные t1 из Tj имеют размерность одинаковую с t1 и Ki не более 1. Следовательно, все остальные треугольники Гильбрайта tk не равные t1 из Tj также сходятся.
2. Пусть треугольник Гильбрайта t1 из Tj расходится, тогда в t1 имеется один или несколько элементов 2Ki, для которых $K_i>1$. В этом случае, все остальные треугольники Гильбрайта tk не равные t1 из Tj имеют размерность одинаковую с t1 и элементы 2Ki с $K_i>1$. Следовательно, все остальные треугольники Гильбрайта tk не равные t1 из Tj также расходятся.
Пусть преобразование Q заключается в смене знака разности одного из элементов треугольника Гильбрайта с отрицательного на положительный или наоборот с последующим пересчетом элементов треугольника.
Теорема 3
Выполним преобразование Q треугольника Гильбрайта t. После выполнения преобразования Q получим треугольник Гильбрайта $t'=Q(t)$. Тогда, если треугольник Гильбрайта t сходился, то треугольник Гильбрайта t' будет сходиться, а если треугольник Гильбрайта t расходился, то треугольник Гильбрайта t' будет расходиться. Таким образом, сходимость треугольника Гильбрайта не меняется.
Доказательство
Допустим треугольник Гильбрайта t, принадлежит классу эквивалентности Tl. При преобразовании Q размерность треугольника Гильбрайта не изменится. При преобразовании Q при смене отрицательной разности на положительную, на основании определения, элемент $A_i_{ j+1}$ меняется на $A_i_ j +2A_{i+1}_{j+1}$. При смене положительной разности на отрицательную, на основании определения, элемент $A_i _{j+1}$ меняется на $A_i_ j -2A_{i+1}_{j+1}$. В обоих случаях при пересчете элементов меняются только элементы треугольника Гильбрайта, находящиеся в строке i и выше, в колонке $Х_{j+1}$ и правее. Таким образом, элементы треугольника Гильбрайта, находящиеся левее колонки ${j+1}$ не меняются, в том числе элементы $2K_j (j=1,…n)$. Следовательно, при выполнении преобразования $t'=Q(t)$ треугольник Гильбрайта t' также принадлежит классу эквивалентности Tl. Поэтому на основании теоремы 2 сходимость треугольника Гильбрайта не изменится.
Следствие
Сходимость треугольника Гильбрайта не изменится при смене разности у нескольких элементов треугольника Гильбрайта или даже у всех. Это доказывается последовательным выполнением преобразования Q необходимое число раз.
Сделаем пояснение. Пусть дан треугольник Гильбрайта с отрицательными разностями. Если после замены отрицательных разностей на положительные треугольник Гильбрайта будет сходиться, то на основании следствия теоремы 3 сходился и исходный треугольник Гильбрайта с отрицательными разностями. Получается некоторый аналог абсолютной сходимости рядов. Этим объясняется введение в начале работы термина - сходимость треугольника Гильбрайта.
Поэтому возникает интерес к рассмотрению сходимости треугольников Гильбрайта с положительными разностями.
Буду благодарен за замечания и предложения по улучшению работы.

[vicvolf]

Продолжение.
Теорема 4
Рассмотрим треугольник Гильбрайта, в основании которого находятся нечетные числа с возможными пропусками $P_1=3, P_2,… P_n, P_{n+1}$ . Выполним преобразование $Q_{n+1}$- заменим все отрицательные разности под числом $P_{n+1}$, если таковые имеются, на положительные, начиная с нижних строк и заканчивая верхними. При каждой такой замене проводится пересчет всех элементов под $P_{n+1}$. Тогда, после завершения преобразования $Q_{n+1}$, число $P_{n+1}$ перейдет в число $P’_{n+1}$ и будет выполняться равенство $P’_{n+1}=2K_n+ P_n+ \sum_{i=1}^{n}{A_i_{n-1}}$ (1), где суммирование ведется по $i (i=1,…n-1)$.
Доказательство
Для положительных разностей выполняется $A_i_n= A_{i-1}_n - A_{i-1}_{n-1} \geq 0$, поэтому $P’_{n+1}= P_n+ A_i_n= P_n+ A_1_{n-1}+ A_2_n= P_n+ A_1_{n-1}+A_2_{n-1}+ A_3_n=…= P_n+\sum_{i=1}^{n}{A_i_{n-1}}+2K_n=$ ч.т.д.
Следствие 1
В случае, если под числом $P_{n+1}$ имеется хотя бы одна отрицательная разность, то выполняется соотношение - $P_{n+1}< P_n+ \sum_{i=1}^{n}{A_i_{n-1}}$.
Доказательство. Предположим это не так, и выполняется соотношение $P_{n+1}\geq P_n+ \sum_{i=1}^{n}{A_i_{n-1}}$, но в этом случае по формуле (1) для $K_n=0$ под числом $P_{n+1}$ будут только положительные разности. Таким образом, пришли к противоречию, которое доказывает следствие 1.
Следствие 2
Для выполнения преобразование $Q_{n+1}$ с целью замены всех отрицательных разностей под числом $P_{n+1}$, если таковые имеются, на положительные не требуется проводить последовательные замены с последующим пересчетом. Достаточно просто заменить число $P_{n+1}$ на число $P’_{n+1}=2K_n+P_n+ \sum_{i=1}^{n}{A_i_{n-1}}$. Доказательство следствия 2 непосредственно следует из теоремы 4.
Из формулы (1) следует, что в сходящемся треугольнике Гильбрайта существует только два вида чисел с положительными разностями: $P’_{n+1}=P_n+ \sum_{i=1}^{n}{A_i_{n-1}}$ (2) и $P’_{n+1}=2+ P_n+ \sum_{i=1}^{n}{A_i_{n-1}}$ (3).
Необходимое и достаточное условие сходимости треугольника Гильбрайта (признак сходимости треугольника Гильбрайта).
Пусть в основании треугольника Гильбрайта находится последовательность нечетных чисел с возможными пропусками $P_1=3, P_2,… P_n$, и треугольник Гильбрайта сходится. Добавим в основание треугольника Гильбрайта нечетное число $P_{n+1}>P_n$. Выполним преобразование $Q_{n+1}$. При этом преобразовании нечетное число $P_{n+1}$ переходит в число $P’_{n+1}$. Тогда соотношение $P’_{n+1}-P_n\leq 2+ \sum_{i=1}^{n}{A_i_{n-1}}$ (4) является необходимым и достаточным условием сходимости для треугольника Гильбрайта.
Необходимость.
Если треугольник Гильбрайта сходится, то $K_{n+1}\leq 1$ и на основании формулы (1) получаем неравенство (4).
Достаточность.
Предположим, что условие (4) выполнено, а треугольник Гильбрайта расходится. Тогда $K_{n+1}>1$ и по формуле (1) получаем $P’_{n+1}-P_n>2+ \sum_{i=1}^{n}{A_i_{n-1}}$. Что противоречит предположению о выполнении условия (4), что доказывает утверждение.
Заметим, что признак сходимости треугольника Гильбрайта является еще одним аналогом признаков сходимости рядов.
Вернемся к примеру 1. Выполним преобразование $Q_{n+1}$ треугольника Гильбрайта. Заменим отрицательную разность 2 на положительную - 22, выделенную жирным шрифтом, и получим треугольник Гильбрайта, представленный ниже.
2 3 5 9 17 29 51
1 2 4 8 12 22
1 2 4 4 10
1 2 0 6
1 2 6
1 4
3
Теперь проверим сходимость полученного треугольника Гильбрайта на основании признака сходимости $P’_{n+1}-P_n=51-29=22>2+ \sum_{i=1}^{n}{A_i_{n-1}}=2+12+4+0+2=20$. Следовательно, признак сходимости не выполняется. Поэтому треугольник Гильбрайта расходится.
Таким образом, получен ответ на вопрос, поставленный в начале работы.
Прошу принять участие в обсуждении работы. Отвечу на вопросы.

[vicvolf]

Теперь рассмотрим два утверждения, из доказательства которых следует доказательство самой гипотезы Гильбрайта.
Рассмотрим треугольник Гильбрайта, в основании которого находятся простые числа 3, 5, 7, 11,…и.т.д. Пример такого треугольника представлен ниже.
3 5 7 11 13 17 19 23 29 31
2 2 4 2 4 2 4 6 2
0 2 2 2 2 2 2 4
2 0 0 0 0 0 2
2 0 0 0 0 2
2 0 0 0 2
2 0 0 2
2 0 2
2 2
0
На примере отрицательные разности выделены жирным шрифтом. Обратим внимание, что под простыми числами 5, 7, 11 находятся только положительные разности. Под каждым простым числом больше 11 находится хотя бы одна отрицательная разность.
Данная закономерность была мною проверена на большом объеме простых чисел и подтвердилась.
В этом случае, на основании следствия 1 теоремы 4, для любых последовательных простых чисел $P_n (P_n>11)$ и $P_{n+1}$ выполняется неравенство - $P_{n+1}<P_n+\sum_{i=1}^{n}{A_i_{n-1}}$. Таким образом, надо доказать следующее утверждение.
Утверждение 1
Пусть имеется треугольник Гильбрайта, в основании которого находятся простые числа без пропусков Р1=3, Р2=5,….Рk. Тогда для любых последовательных простых чисел $P_n (P_n>11)$ и $P_{n+1} (n+1<k)$ выполняется неравенство - $P_{n+1}< P_n+ \sum_{i=1}^{n}{A_i_{n-1}}$.

Теперь рассмотрим расходящийся треугольник Гильбрайта с простыми числами, приведенный ниже.
3 5 7 11 13 17 19 23 29 43
2 2 4 2 4 2 4 6 14
0 2 2 2 2 2 2 8
2 0 0 0 0 0 6
2 0 0 0 0 6
2 0 0 0 6
2 0 0 6
2 0 6
2 6
4
Обратим внимание, что в основании треугольника Гильбрайта находятся простые числа от 3 до 29, а элементы $2Ki\leq 2$ (i=1,…8), $2K_9=4$. Достроив треугольник вверх от элемента $2K_9=4$, мы получим в основании число $P_9=43$, которое не является следующим за $P_8=29$ простым числом, а под числом $P_9=43$ находятся только одни положительные разности, которые выделены жирным шрифтом.
Данная закономерность была мною проверена на большом объеме простых чисел и подтвердилась.

Утверждение 2
Пусть в основании треугольника Гильбрайта находятся последовательные простые числа без пропусков $P_1=3, P_2=5,…P_n (P_n>11)$. Добавим в основание треугольника Гильбрайта число $P'_{n+1}$, при котором треугольник станет расходиться. Тогда под числом $P'_{n+1}$ в треугольнике будут находиться только положительные разности.

В случае выполнения этого утверждения, так как под $P'_{n+1}$ в треугольнике будут находиться только положительные разности, можно применить признак сходимости треугольника Гильбрайта. Так как треугольник Гильбрайта будет расходиться, то будет выполняться неравенство – $P'_{n+1}-P_n>2+\sum_{i=1}^{n}{A_n_i}$.

Следствие
Пусть имеется треугольник Гильбрайта, в основании которого находятся последовательные простые числа без пропусков: $P_1=3, P_2=5,…P_n$ и треугольник сходится. Тогда при добавлении в основание треугольника Гильбрайта следующего простого числа $P_{n+1}$ треугольник также будет сходиться.
Доказательство
Предположим противное, что при добавлении в основание треугольника Гильбрайта следующего простого числа $P_{n+1}$ треугольник будет расходиться. Тогда на основании утверждения 2 и признака сходимости треугольника Гильбрайта будет выполняться неравенство – $P_{n+1}-P_n>2+\sum_{i=1}^{n}{A_n_i}$. С другой стороны, на основании утверждения 1 для этих простых чисел выполняется неравенство $P_{n+1}-P_n<\sum_{i=1}^{n}{A_n_i}$. Таким образом, мы пришли к противоречию, которое доказывает следствие и саму гипотезу Гильбрайта. О доказательстве утверждений 1,2 поговорим позже.

Указанный выше материал является статьей, которая была отправлена мною в журнал "Фундаментальная и прикладная математика" и в настоящее время находится на рецензировании.
Даже, если статья будет опубликована, то ее увидит узкий круг специалистов, а на форуме ее увидит большое количество математиков. Только на форуме возможна обратная связь и обсуждение статьи. Хотелось бы получить Ваши отзывы.

С уважением Вольфсон В. Л.

[arseniiv]

Одно косметическое предложение: было бы хорошо, если бы треугольники были оформленны как $\TeX$-таблицы или моноширинным шрифтом, чтобы было виднее, какие числа под какими стоят, но у вас уже, наверно, истекло время правки сообщений.

vicvolf в сообщении #544392 писал(а):

О доказательстве утверждений 1,2 поговорим позже.

Насколько позже?

[vicvolf]

arseniiv в сообщении #544398 писал(а):

Одно косметическое предложение: было бы хорошо, если бы треугольники были оформленны как $\TeX$-таблицы или моноширинным шрифтом, чтобы было виднее, какие числа под какими стоят, но у вас уже, наверно, истекло время правки сообщений.

К сожалению, уже поздно делать правки, но треугольник Гильбрайта можно восстановить по его основанию....

arseniiv в сообщении #544398 писал(а):

vicvolf в сообщении #544392 писал(а):

О доказательстве утверждений 1,2 поговорим позже.

Насколько позже?

Сначала хотелось бы обсудить опубликованный материал, а потом идти дальше.

[arseniiv]

vicvolf в сообщении #544481 писал(а):

К сожалению, уже поздно делать правки, но треугольник Гильбрайта можно восстановить по его основанию....

Да не проблема. Только ведь неудобно это.

[vicvolf]

Извините за неудобства! Готов сделать необходимые пояснения и ответить на вопросы.

[vorvalm]

$\Delta$ Гильбрайта ни что иное, как последовательное "дифференцирование" функции $p(n)$.
Если первый ряд чисел - функция $p(n)$, то второй ряд - производная $p'(n)$, третий ряд - вторая производная $p''(n)$ и т.д.
Понятно, что отрицательные разности отмечаются жирным шрифтом, но как понимать жирный "0".
Кстати, функция $p'(n)$ затабулирована для достаточно больших "р".

[vicvolf]

vorvalm в сообщении #546023 писал(а):

Понятно, что отрицательные разности отмечаются жирным шрифтом, но как понимать жирный "0".

Спасибо за вопрос. Во втором сообщении темы дано определение. В случае, если в i-ой строке Aij>Aij+1, то назовем «отрицательной разностью», если Aij не более Aij+1, то назовем «положительной разностью». Поэтому это значит, что в этой строке Aij=2, а Aij+1=0, т.е идет убывание разности.

-- 07.03.2012, 15:21 --

vorvalm в сообщении #546023 писал(а):

$\Delta$ Гильбрайта ни что иное, как последовательное "дифференцирование" функции $p(n)$.
Если первый ряд чисел - функция $p(n)$, то второй ряд - производная $p'(n)$, третий ряд - вторая производная $p''(n)$ и т.д.
Кстати, функция $p'(n)$ затабулирована для достаточно больших "р".

Согласен с первыми разностями (пробелами) все так, но со второго ряда и далее берутся уже модули разностей и они уже совпадают с производными, если только разности возрастают - в моей терминологии, если разности положительные.

[vorvalm]

Правильно ли я понимаю, что исходную функцию $p(n)$ я могу получить, только зная функцию $p'(n)$?
От остальных "производных" это не получится?

[vicvolf]

vorvalm в сообщении #546053 писал(а):

От остальных "производных" это не получится?

Строки, начиная со второй, являются модулями производных, а не производными. Поэтому для восстановления строки с меньшим номером надо знать еще знаки разностей в этой строке. Однозначно треугольник Гильбрайта задается значениями Ki (см. сообщение 2) и указанием знака разности (положительная или отрицательная) в каждом элементе (кроме первой строки).

[vorvalm]

Никак не разберусь с индексацией элементов строк.
У вас одни и те же индексы и у чисел $P_i$ и у элементов $A_{i i}$ , но у чисел $P_i$ они начинаются $i=0$, а у элементов $A_{i i}$ они начинаются $i=1$.

[vicvolf]

vorvalm в сообщении #546080 писал(а):

У вас одни и те же индексы и у чисел $P_i$ и у элементов $A_{i i}$ , но у чисел $P_i$ они начинаются $i=0$, а у элементов $A_{i i}$ они начинаются $i=1$.

Первая строка треугольника:
$P_1-P_0=A_1_0$,
$P_2-P_1=A_1_1=K_1$,
..............................,
$P_{n+1}-P_n=A_1_n$,

вторая строка:
$|A_1_1-A_1_0|=A_2_1$,
$|A_1_2-A_1_1|=A_2_2=K_2$,
................................,
$|A_1_{n}-A_1_{n-1}|=A_2_{n-1}$,

и.т.д.