Задача о слабой и сильной сходимости (в Банаховом пространст

[Мироника]

Dan_Te писал(а):

Я вот думаю, в исходном условии задачи нигде $\forall A$ не пропущено?

$\forall A$-так и должно быть.
Вот только для $A=0$, наверно, не получится

[RIP]

Мироника писал(а):

Dan_Te писал(а):

Я вот думаю, в исходном условии задачи нигде $\forall A$ не пропущено?

$\forall A$-так и должно быть.

Всё равно нельзя утверждать, что последовательность сходится. Можно лишь утверждать, что $f=f^*$.

[Мироника]

Но Вы же писали:
"ни в каком пространстве нельзя утверждать, что $f=f^*$"
и в то же время:
"Всё равно нельзя утверждать, что последовательность сходится. Можно лишь утверждать, что $f=f^*$."
Поясните это, пожалуйста.

[RIP]

Мироника писал(а):

Но Вы же писали:
"ни в каком пространстве нельзя утверждать, что $f=f^*$"
и в то же время:
"Всё равно нельзя утверждать, что последовательность сходится. Можно лишь утверждать, что $f=f^*$."
Поясните это, пожалуйста.

Когда я писал первое утверждение, я подразумевал, что непрерывный оператор $A$ фиксирован. Во втором утверждении я рассматривал ситуацию, когда $A$ не фиксирован (т.е. для любого $A$ выполняются условия.)

[Мироника]

Понятно. Спасибо.

Добавлено спустя 53 минуты 22 секунды:

RIP писал(а):

Например, утверждение неверно в $l^2$.

А как это доказать?

[RIP]

Если $e_n=(0,0,\ldots,0,\underset{n}{1},0,\ldots)\in l^2$ (единица на $n$-м месте), то $e_n$ слабо сходится к $0=(0,0,\ldots)\in l^2$ (это несложно показать).
Рассмотрите теперь последовательность $e_1,0,e_2,0,e_3,0,\ldots.$