2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 Задача о слабой и сильной сходимости (в Банаховом пространст
Сообщение16.02.2007, 21:18 
Аватара пользователя


16/02/07
329
Помогите, пожалуйста, доказать, что если $Af_n$ слабо сходится к $Af$ и подпоследовательность $Af_n_k$ сильно сходится к $Af^*$, то $Af_n$ сильно сходится к $Af$ и $f$ совпадает с $f^*$. (Здесь $A$- линейный оператор, а $f_n$- некая последовательность). Я так понимаю, что последовательность сходится слабо, если сходится функционал от этой последовательности. Но что дальше? Как связать это с подпоследовательностью?

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение17.02.2007, 00:27 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/01/06
3822
Последовательность $\{x_n\}$ векторов некоторого нормированного пространства $X$ слабо сходится к элементу $x\in X$, если для любого непрерывного линейного функционала $\varphi\in X^*$ верно $\varphi(x_n)\underset{n\to\infty}{\longrightarrow}\varphi(x)$.

Уточните, какое пространство имеется в виду в задаче. Например, утверждение неверно в $l^2$.

Кроме того, ни в каком пространстве нельзя утверждать, что $f=f^*$. Достаточно взять $A=0$ (нулевой оператор.)

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение17.02.2007, 00:34 
Аватара пользователя


16/02/07
329
Речь идет о Банаховом пространстве.
Нулевой оператор во внимание не берем.
Надо, мне кажется, как-то отталкиваться от сильной сходимости ПОДпоследовательности?

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение17.02.2007, 00:42 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/01/06
3822
Во-первых, $l^2$ банахово.
Во-вторых, утверждение (если выкинуть $f=f^*$) верно только для таких пространств, в которых понятия сильной и слабой сходимости совпадают. Но для таких пространств утверждение очевидно.
В третьих, достаточно взять любой оператор с нетривиальным ядром, чтобы убедиться, что необязательно $f=f^*$.

Добавлено спустя 3 минуты 34 секунды:

Короче, проверьте условие задачи.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение17.02.2007, 00:47 
Аватара пользователя


16/02/07
329
Получается: в произвольном Банаховом пространстве нельзя утверждать, что из слабой сходимости $Af_n$ и сильной сходимости подпоследовательности $Af_n_k$ следует сильная сходимость для $Af_n$?

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение17.02.2007, 00:52 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/01/06
3822
Получается. Сами судите, берем последовательность $\{x_n\}$, которая слабо сходится к $x$, но не сходится сильно. Теперь рассмотрите последовательность $x_1,x,x_2,x,x_3,x,\ldots$.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение17.02.2007, 00:58 
Аватара пользователя


16/02/07
329
Что же делать?!
Научный руководитель представил это как элементарную задачу по линейному функциональному анализу. Может что-то упущено в условии?

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение17.02.2007, 01:00 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/01/06
3822
Мироника писал(а):
Может что-то упущено в условии?

Вот и я о том же.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение17.02.2007, 01:03 
Аватара пользователя


16/02/07
329
Большое спасибо!
Буду думать! Надо же как-то "выкручиваться". :?

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение17.02.2007, 08:15 
Супермодератор
Аватара пользователя


29/07/05
8248
Москва
Можно только сказать, что эта самая подпоследовательность, которая сходится сильно, сходится и слабо. Но так как слабый предел единственен, но эти два предела совпадают.

Приведите руководителю пример RIP-а.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение17.02.2007, 17:28 
Аватара пользователя


16/02/07
329
Но ведь не у каждой слабо сходящейся последовательности есть подпоследовательность, которая сходится сильно? А если такая подпоследовательность есть, то какой можно сделать вывод?

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение17.02.2007, 19:26 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/01/06
3822
Мироника писал(а):
Но ведь не у каждой слабо сходящейся последовательности есть подпоследовательность, которая сходится сильно? А если такая подпоследовательность есть, то какой можно сделать вывод?

Вывод можно сделать только один: что есть подпоследовательность, которая сходится (сильно).

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение17.02.2007, 19:30 
Аватара пользователя


16/02/07
329
И о поведении самой последовательности никакого вывода сделать нельзя?

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение17.02.2007, 19:33 
Экс-модератор


12/06/05
1595
MSU
Я вот думаю, в исходном условии задачи нигде $\forall A$ не пропущено?

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение17.02.2007, 19:34 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/01/06
3822
Нельзя. Я же приводил пример.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 21 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group