т.Котельникова:почему спектр дискретного сигнала периодичен?

[Groging]

Добрый день!
Разбираюсь с теоремой Котельникова - не очень понимаю её доказательства, а именно пункта, который описан там как очевидный - то, что спектр дискретного сигнала каким-то образом становится периодичным.

Какие в-общем есть идеи: представить дискретный сигнал $u(nT) $ как произведение "забора" (неких единичных эл-ов, отстоящих друг от друга на период дискретизации, ну в-общем через дельта-функцию выразить можно) на изначальный непрерывный сигнал $u(t)$

T-шаг дискретизации

а далее, с учетом этого,

и того, что мы имеем сумму дельта-функций от $w-nw_0$, где $w_0=T^{-1}$ (это верно? ), получаем спектр как сумму одинаковых спектров первоначальных сигналов, каждый раз, сдвинутых на $w_0$ вот собственно и периодичность

хотелось бы разобраться с этим...

спасибо.

[Alex-Yu]

Groging в сообщении #543364 писал(а):

Разбираюсь с теоремой Котельникова - не очень понимаю её доказательства,

Это очень просто. Если спектр сигнала ограничен, то его можно разложить в ряд Фурье. То, что разложение в ряд Фурье дает (периодическое) продолжение спектра вне исходного интервала частот, не имеет никакого значения, при обратном преобразовании Фурье мы эту часть спектра просто выкинем (возмем интеграл по конечному отрезку частот как в исходном сигнале). Сделав преобразование Фурье спектр -> сигнал, получите формулу Котельникова, по которой сигнал для любого момента времени выражается через так называемые "выборки" (значения в дискретные моменты времени).

[profrotter]

Посмотрите:

1. Стеценко О.А. Радиотехнические цепи и сигналы: Учебник/О.А. Стеценко. - М.: Высш. шк., 2007 п.14.4 - 14.5

2. Карташев В.Г. Основы теории дискретных сигналов и цифровых фильтров: Учеб. пособие для вузов. - М.: Высш. школа, 1982. стр.16, а также приложение 1.

[Groging]

Спасибо за помощь!

Alex-Yu в сообщении #543391 писал(а):

Groging в сообщении #543364 писал(а):

Разбираюсь с теоремой Котельникова - не очень понимаю её доказательства,

Это очень просто. Если спектр сигнала ограничен, то его можно разложить в ряд Фурье. То, что разложение в ряд Фурье дает (периодическое) продолжение спектра вне исходного интервала частот, не имеет никакого значения, при обратном преобразовании Фурье мы эту часть спектра просто выкинем (возмем интеграл по конечному отрезку частот как в исходном сигнале). Сделав преобразование Фурье спектр -> сигнал, получите формулу Котельникова, по которой сигнал для любого момента времени выражается через так называемые "выборки" (значения в дискретные моменты времени).

это в общем-то понятно.
Хотелось бы понять условие применимости теоремы Котельникова - почему сигнал накладывается , когда существуют частоты, большие $\frac{1}{2T} $. Тогда после ОПФ мы не сможем восстановить исходный сигнал
Точнее понятно, что накладывается он из-за периодизации. Но откуда берется периодизация?


profrotter, спасибо, посмотрю

[Alex-Yu]

Groging в сообщении #543509 писал(а):

Точнее понятно, что накладывается он из-за периодизации. Но откуда берется периодизация?

Ну дык косинус и синус (ряд Фурье!) функции периодические Можно более формально. Вычислите спектр
такого сигнала:

$$ S_1(t)=\sum_{n=-\infty}^{+\infty} \delta (t-n\tau) $$

Это будет ПЕРИОДИЧЕСКАЯ функция частоты. Далее рассматриваем сигнал $S_3(t)=S_1(t)S_2(t)$. Это дескретизированная версия произвольного сигнала $S_2$. По теореме о свертке спектр $S_3$ есть свертка двух спектров, один из которых периодичен. Свертка любой функции с периодической функцией есть периодическая функция. Это прямо из интеграла видно.

[profrotter]

Alex-Yu в сообщении #543512 писал(а):

По теореме о свертке

Простите, а можно ли тут применять теорему о свёртке? (Мне думалось, что она доказана для того случая, когда рассматривается преобразование Фурье абсолютно-интегрируемых функций.)

[Alex-Yu]

profrotter в сообщении #543553 писал(а):

Простите, а можно ли тут применять теорему о свёртке? (Мне думалось, что она доказана для того случая, когда рассматривается преобразование Фурье абсолютно-интегрируемых функций.)

Пуристы могут заменить бесконечную сумму дельта-функций на конечную сумму. И, соответственно, сигнал на функцию ненулевую лишь на ограниченном интервале. Все равно в реальной жизни бесконечного числа отсчетов не бывает. Возьмите $10^{100000000000000000000000000000}$ штук. Физики не отличают бесконечность от таких чисел. И правильно делают, что не отличают. Даже общее число частиц во всей Вселенной всего лишь около $10^{80}$ штук

[profrotter]

Alex-Yu, впечатлаяющий ход мысли.

Вернёмся к теореме о свёртке. Будем искать спектральную плотность сигнала $s(t)=f(t)g(t)$:

$$S(\omega)=\int\limits_{-\infty}^{+\infty}s(t)e^{-i\omega t}dt=\int\limits_{-\infty}^{+\infty}f(t)g(t)e^{-i\omega t}dt$$

Один из сигналов, скажем, $g(t)$ можно представить как обратное преобразование Фурье своей спектральной плотности:

$$g(t)=\frac 1 {2\pi}\int\limits_{-\infty}^{+\infty}G(\omega')e^{i\omega' t}d\omega'.$$

Возвращаясь к спектральной плотности сигнала $s(t)$, запишем:

$$S(\omega)=\int\limits_{-\infty}^{+\infty}f(t)\frac 1 {2\pi}\int\limits_{-\infty}^{+\infty}G(\omega')e^{i\omega' t}d\omega' e^{-i\omega t}dt.$$

Поменяем порядок интерирования:

$$S(\omega)=\frac 1 {2\pi}\int\limits_{-\infty}^{+\infty}G(\omega')\int\limits_{-\infty}^{+\infty}f(t)e^{i\omega' t}e^{-i\omega t}dt d\omega'=\frac 1 {2\pi}\int\limits_{-\infty}^{+\infty}G(\omega')\int\limits_{-\infty}^{+\infty}f(t)e^{-i(\omega-\omega') t}dt d\omega'=$$

$$=\frac 1 {2\pi}\int\limits_{-\infty}^{+\infty}G(\omega')F(\omega-\omega') d\omega'.$$

Вот, собственно и она - теорема о свёртке. При доказательстве мы изменили порядок интегрирования, но подозреваю я, что делать такое допускается когда эти интегралы сходятся, независимо от того, сколько частиц во вселенной. То есть одним из требований является абсолютная интегрируемость сигнала $s(t)$. К сожалению не встречался с подробным разбором этого вопроса. Если кто из серьёзных людей читает - прошу высказаться.

Теперь к спектру дискретного сигнала. Дискретный сигнал описывается выражением

$$s_d(t)=s(t)s_{\text{нип}}(t),$$

где $s(t)$ - аналоговый сигнал. $s_{\text{нип}}(t)$ - несущая импульсная последовательность (НИП), которая представляет собою периодическую последовательность (обычно прямоугольных) импульсов, длительность $\tau_0$ которых гораздо меньше периода их следования $T$. Период следования импульсов НИП является периодом дискретизации.

Как периодический сигнал, НИП можно представить в виде ряда Фурье в комплексной форме:

$$s_{\text{нип}}(t)=\sum\limits_{n=-\infty}^{+\infty}C_ne^{in\omega_d t},$$

где $\omega_d=\frac {2\pi} T$ - частота дискретизации, $C_n$ - коэффициенты ряда. В случае, когда НИП - последовательность прямоугольных импульсов $C_n=V_0\frac {\tau_0}{T}sinc(\frac {n\omega_d\tau_0}{2})$, $V_0$ - размах импульсов последовательности.

С учётом разложения НИП для дискретного сигнала запишем выражение:

$$s_d(t)=\sum\limits_{n=-\infty}^{+\infty}C_ns(t)e^{in\omega_d t}.$$

Возмём преобразование Фурье. С учётом свойства линейности получим:

$$S_d(\omega)=\sum\limits_{n=-\infty}^{+\infty}C_n\int\limits_{-\infty}^{\infty}s(t)e^{-i(\omega-n\omega_d) t}dt=\sum\limits_{n=-\infty}^{+\infty}C_nS(\omega-n\omega_d).$$

Подставив в полученное выражение коэффициенты $C_n$ получим спектральную плотность дискретного сигнала. В идеализированном случае полагают, что НИП представляет собою последовательность прямоуольных импульсов с $V_0=\frac 1 {\tau_0}$ и $\tau_0\to0$. При этом импульсы НИП становятся бесконечно короткими и бесконечно высокими, но с единичной площадью под графиком, то есть "превращаются" в дельта-импульсы, $C_n=\frac 1 T$. Спектральная плотность идеализированного дискретного сигнала описывается выражением:

$$S_d(\omega)=\frac 1 T\sum\limits_{n=-\infty}^{+\infty}S(\omega-n\omega_d)$$

и представляет собою периодическое повторение копий спектра исходного (аналогового) сигнала с коэффициентом $\frac 1 T$ и с периодом по частотной оси, равным частоте дискретизации.

[Alex-Yu]

profrotter в сообщении #543765 писал(а):

Вот, собственно и она - теорема о свёртке. При доказательстве мы изменили порядок интегрирования, но подозреваю я, что делать такое допускается когда эти интегралы сходятся, н

Ну само-собой. Кстати, сходимость тоже разная бывает. В тривиальной топологии сходится вообще все, что угодно Другой вопрос что от такой сходимости толку никакого, она предельно неотделимая. Но бывают промежуточные случаи, когда сходимость еще есть и при этом вообще все результаты не превращаются в один единственный, от которого никакого проку В общем в конкретном случае нужен специальный анализ, если быть пуристом. А физики такой анализ обычно заменяют на анализ физической осмысленности, что к математике уже не имеет вообще никакого отношения.

В общем математическая строгость -- штука полезная, но в основном в качестве интелектуального упражнения. Для развития мозгов. В реальной же жизни (физика, инженерное дело и т.п.) от нее вреда больше, чем пользы.

В данном же конкретном случае все очень просто и такое большое количество букв, что Вы написали, не нужно для того, чтобы понять вопрос в общих чертах. Ну бог ты мой, не сходится... Ну возмите в сумме дельта-функций не бесконечное число членов, а конечное, от -N до N. И все будет сходиться. Тем более, что, как я уже говорил, бесконечно длинных сигналов и бесконеного числа выборок в реальной жизни не бывает НИКОГДА. Пурист далее может проанализировать предел $N \to \infty$ Если ему делать больше нечего, нет более содержательных занятий. А у меня такие более содержательные занятия есть

[profrotter]

Alex-Yu в сообщении #543777 писал(а):

В данном же конкретном случае все очень просто и такое большое количество букв, что Вы написали, не нужно для того, чтобы понять вопрос в общих чертах.

Для того, чтобы понять вопрос в общих чертах надо знать свойство взаимозаменяемости $\omega$ и $t$ в паре преобразований Фурье (свойство симметрии преобразвания Фурье): если сигнал $s(t)$ имеет спектральную плотность $S(\omega)$, то сигнал $S^{*}(t)$ имеет спектральную плотность $2\pi s^{*}(\omega)$. То есть преобразование Фурье взаимно-однозначно связывает две функции $s(.)$ и $S(.)$: когда одна фигурирует как функция времени, то другая - как функция частоты, и наоборот. Если одна из функций периодическая, то вторая - дискретная и наоборот.

Теперь, если ввести понятие спектральной плотности для периодического сигнала, то становится понятным, что поскольку периодический синал имеет дискретную спектральную функцию, то дискретный сигнал будет иметь периодическую спектральную функцию.

Вот и всё качественное суждение.

Alex-Yu в сообщении #543777 писал(а):

Ну бог ты мой, не сходится... Ну возмите в сумме дельта-функций не бесконечное число членов, а конечное, от -N до N. И все будет сходиться. ... Пурист далее может проанализировать предел $N \to \infty$ Если ему делать больше нечего, нет более содержательных занятий. А у меня такие более содержательные занятия есть

Ходят слухи, что при конечном N в выкладках под интегралом нарисуется вредный Дирихле и ничего хорошего не получится. Хотелось бы взгляднуть, конечно, как можно проделать то, о чём Вы пишете, но с учётом Вашей занятости, я не берусь настаивать.

Alex-Yu в сообщении #543777 писал(а):

Тем более, что, как я уже говорил, бесконечно длинных сигналов и бесконеного числа выборок в реальной жизни не бывает НИКОГДА.

От бесконечно длинных сигналов отрекаться рано ещё. Поговаривают, что сигналы с ограниченным спектром имеют бесконечную длительность. А сигналы с ограниченным спектром нам ещё могут понадобиться, если, допустим, автор темы пожелает разбираться с доказательством теоремы Котельникова.

[Alex-Yu]

profrotter в сообщении #543786 писал(а):

периодический синал имеет дискретную спектральную функцию, то дискретный сигнал будет иметь периодическую спектральную функцию.

Ну так это и просили пояснить первоначально, откуда берется.

-- Ср фев 29, 2012 17:38:11 --

profrotter в сообщении #543786 писал(а):

Поговаривают, что сигналы с ограниченным спектром имеют бесконечную длительность. А сигналы с ограниченным спектром нам ещё могут понадобиться, если, допустим, автор темы пожелает разбираться с доказательством теоремы Котельникова.

Т. Котельникова это одно, а периодичность дискретного сигнала -- другое. Т. Котельникова доказывается в полпинка, что выше и было сделано.

-- Ср фев 29, 2012 17:40:27 --

profrotter в сообщении #543786 писал(а):

Ходят слухи, что при конечном N в выкладках под интегралом нарисуется вредный Дирихле и ничего хорошего не получится.

Чего-чего? При конечнчом N получается конечная сумма экспонент с кратными показателями. Вполне себе периодическая функция без каких-либо паталогий

И еще. Вот чем удивительны математики, так это их любовью к поточечной сходимости функций. При всем при том, что такая сходимость не имеет ни малейшего физического смысла. Измерить функцию в точке невозможно, можно измерить только функционал: в простейшем случае интеграл от функции, умноженной на так называемую аппаратную функцию.

[epros]

profrotter в сообщении #543765 писал(а):

При доказательстве мы изменили порядок интегрирования, но подозреваю я, что делать такое допускается когда эти интегралы сходятся, независимо от того, сколько частиц во вселенной. То есть одним из требований является абсолютная интегрируемость сигнала $s(t)$.

Полагаю, что если предположить, что сигнал где-то давно имеет начало, а где-то в далёком будущем - конец, то на его интегрируемость можно рассчитывать. Собственно, об этом уже было сказано... Хочу только добавить, что Фурье образ бесконечного по времени сигнала (в обобщённых функциях) можно по определению рассматривать как предельный случай Фурье образов конечных по времени сигналов. Например, Фурье образом синусоиды оказывается дельта-функция, хотя формально интегралы можно посчитать только для конечного куска синусоиды.

Так что я в целом согласен с тем, что:

Alex-Yu в сообщении #543777 писал(а):

В общем математическая строгость -- штука полезная, но в основном в качестве интелектуального упражнения. Для развития мозгов. В реальной же жизни (физика, инженерное дело и т.п.) от нее вреда больше, чем пользы.

Короче, для ответа на вопрос ТС "физику" нужно знать всего лишь две вещи:
1) Фурье образом решётки Дирака является решётка Дирака. Можно принять это за аксиому и далее не морочиться.
2) Фурье образом произведения сигналов является свёртка их Фурье образов. Это тоже можно принять за аксиому и далее не морочиться.

А для "пуристов" можно так:
Вместо решётки Дирака берём решётку из функций вида $e^{-a (x-k)^2}$, умноженную на функцию вида $e^{-b x^2}$. Устремляя $a$ в бесконечность, а $b$ - к нулю, получим ту самую решётку Дирака. Нетрудно убедиться, что Фурье образ этой функции имеет такой же вид. Поскольку все интегралы от этой функции сходятся, теорема о Фурье образе произведения остаётся в силе. Остаётся перейти к указанному пределу, и усё.

[Alex-Yu]

epros в сообщении #543814 писал(а):

Короче, для ответа на вопрос ТС "физику" нужно знать всего лишь две вещи:

Для физика все намного проще. Спектр это то, что измеряет спектрометр. А не какой-то там интеграл Разумно предположить, что аппартаная функция спектрометра имеет, например, гауссову форму. Но в любом случае физически осмысленный предел $N \to \infty$, как и устремление к нулю ширины гауссиана, должен делаться В КОНЦЕ, а никак не в начале (когда только и возникают некоторые, хотя и вполне решаемые математические патолгии), как того бы хотел математик.

[profrotter]

Alex-Yu в сообщении #543804 писал(а):

Т. Котельникова это одно, а периодичность дискретного сигнала -- другое. Т. Котельникова доказывается в полпинка, что выше и было сделано.

В любом случае спектр дискретного сигнала должен быть изучен до того, как будет выполнено доказательство теоремы Котельникова. В вашем "с полпинка" Вы упускаете одну важную деталь: при выполнении условия теоремы $T\leq \frac {\pi} {\omega_m}$ на интервале $[-\frac {\omega_d} {2},\frac {\omega_d} {2}]$ находится в точности с коэффициентом $\frac 1 T$ "копия" спектра исходного (аналогового) сигнала. Это используется в доказательстве.

Alex-Yu в сообщении #543804 писал(а):

Чего-чего? При конечнчом N получается конечная сумма экспонент с кратными показателями. Вполне периодическая функция без каких-либо паталогий

Эта сумма экспонент лёгким движением руки превращается в ядро Дирихле сообщении #502290, а при неограниченном увеличении N - переходит в периодическую последовательность дельта-функций.

Alex-Yu в сообщении #543804 писал(а):

Вот чем удивительны математики

Серьёзных математиков и ждём. Пока я предполагаю, что доказательство на основе теоремы о свёртке действительно только для случая, когда хотя бы один из сигналов является абсолютно-интегрируемым.

-- Ср фев 29, 2012 15:10:17 --

epros в сообщении #543814 писал(а):

Это тоже можно принять за аксиому и далее не морочиться.

Давайте будем проще и примем за аксиому то, что спектр дискретного сигнала периодичен.

[Alex-Yu]

profrotter в сообщении #543822 писал(а):

Давайте будем проще и примем за аксиому то, что спектр дискретного сигнала периодичен.

В физике аксиом (в математическом смысле) не бывает.