2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 Независимые события [Теория вероятностей]
Сообщение27.02.2012, 23:00 
Аватара пользователя


12/01/11
1315
Москва
Здравствуйте еще раз!
Нужна помощь экспертов в решении следующей задачи. :-)
События $A_1, A_2, \dots, A_n$ удовлетворяют условиям $P\{A_i\}=p_i, P\{\cup \limits_{j=1}^{i}A_j\}=p_1\dots p_i, 1\leq i \leq n$. Являются ли события $A_1, A_2, \dots, A_n$ независимыми в совокупности?
События $A_1, A_2, \dots, A_n$ называются независимыми в совокупности, если для любой последовательности $1\leq i_1<i_2<\dots<i_k\leq n$ выполняется равенство $P\{A_{i_1}A_{i_2}\dots A_{i_k}\}=P\{A_{i_1}\}\dots P\{A_{i_k}\}$
Для удобства записи и рассуждения я возьму последовательность (ведь от этого ничего не меняется) $(i_1, i_2, \dots, i_k)=(1, 2,\dots, k)$
$P\{A_1A_2\dots A_k\}=1-P\{\cup_{i=1}^{k} \overline{A_i}\}$ и для последнего я применяю формулу включений-исключений и сделав арифметические преобразования получаю, что:
$P\{A_{1}A_{2}\dots A_{k}\}=(p_1+p_2+\dots+p_k)-(p_1p_2+\dots+p_{k-1}p_k)+(p_1p_2p_3+\dots+p_{k-2}p_{k-1}p_k)-\dots+(-1)^{k-1}p_1p_2\dots p_k;$
Так как $P\{A_1\}P\{A_2\}\dots P\{A_k\}=p_1p_2\dots p_k$, то уже нужно проверить равны ли между собой выражения $(p_1+p_2+\dots+p_k)-(p_1p_2+\dots+p_{k-1}p_k)+(p_1p_2p_3+$$\dots+p_{k-2}p_{k-1}p_k)-\dots+(-1)^{k-1}p_1p_2\dots p_k$$ и $p_1p_2\dots p_k$.
Помогите пожалуйста, а то здесь я уже в ступоре.
Надеюсь я нигде не допустил ляпов и правильно рассуждаю.

С уважением, Whitaker.

 Профиль  
                  
 
 Re: Независимые события [Теория вероятностей]
Сообщение28.02.2012, 07:06 
Супермодератор
Аватара пользователя


29/07/05
8248
Москва
Whitaker в сообщении #543330 писал(а):
$P\{A_i\}=p_i, P\{\cup \limits_{j=1}^{i}A_j\}=p_1\dots p_i, 1\leq i \leq n$.


Этого быть не может. Там должно стоять пересечение событий, а не объединение. Иначе нарушается монотонность вероятности: событие стало больше, а вероятность его при этом уменьшилась.

 Профиль  
                  
 
 Re: Независимые события [Теория вероятностей]
Сообщение28.02.2012, 08:22 
Заслуженный участник


11/05/08
31889
Whitaker в сообщении #543330 писал(а):
$P\{A_i\}=p_i, P\{\cup \limits_{j=1}^{i}A_j\}=p_1\dots p_i, 1\leq i \leq n$. Являются ли события $A_1, A_2, \dots, A_n$ независимыми в совокупности?

В частности: $P(A_i\cup A_k)=P(A_i)P(A_k)$. Возможно ли такое?...

-- не исключено; но лишь в том случае, когда...

 Профиль  
                  
 
 Re: Независимые события [Теория вероятностей]
Сообщение28.02.2012, 08:30 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/03/08
6950
Москва
Помимо замечания по поводу пересечения и объединения, замечу ещё, что условие независимости в совокупности требует выполнения для всех последовательностей. А дано, что выполняется для последовательностей от 1 до j. То есть контрпример может быть таков, например:
есть три события. Выполняется данное условие, но для пересечения событий 2 и 3 вероятность наступления 2 и 3 не равна $p_2 p_3$

 Профиль  
                  
 
 Re: Независимые события [Теория вероятностей]
Сообщение28.02.2012, 10:50 
Заслуженный участник


11/05/08
31889
Евгений Машеров в сообщении #543382 писал(а):
То есть контрпример может быть таков, например:
есть три события. Выполняется данное условие, но для пересечения событий 2 и 3 вероятность наступления 2 и 3 не равна $p_2 p_3$

Это ещё не контрпример -- его ещё надо построить. Или хотя бы объяснить, почему такое построение возможно (т.е. почему исходное условие не является достаточно жёстким).

Если, конечно, в условии действительно заменить объединение на пересечение. В принципе-то оба варианта задачи более-менее осмысленны. Только вопрос в любом случае сформулирован неаккуратно. Вместо "являются ли?" в случае с пересечением следовало бы спросить "обязательно ли являются?", в случае с объединением -- "могут ли являться?".

 Профиль  
                  
 
 Re: Независимые события [Теория вероятностей]
Сообщение28.02.2012, 14:50 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/03/08
6950
Москва
Прошу прощения за задержку с примером . Он простой.
События - выпадение орла в 1-м, 2-м, 3-м бросаниях.
Первое - "честное" с вероятностью 0.5. Если выпал орёл - два другие тоже "честные", независимые с вероятностью 0.5
Если выпала решка - второе бросание "честное", третье - его дубль.
При этом вероятности выпадения орлов в первом, первом и втором и первом, втором и третьем, соответственно, 0.5, 0.25 и 0.125.
Но события 2 и 3 уже не независимы.
Вероятность события 3 при условии 2 не 0.25, как если бы независимы, а 0.375

 Профиль  
                  
 
 Re: Независимые события [Теория вероятностей]
Сообщение28.02.2012, 15:29 
Заслуженный участник


11/05/08
31889
Я бы предложил контрпример абстрактнее. Пусть пересечение всех трёх содержится в пересечении двух первых. Тогда ни о какой независимости в совокупности говорить, конечно, не приходится -- хотя бы потому, что тогда пересечение всех трёх совпадает содержится во втором, т.е. второе явно зависит от пересечения первого и третьего. Между тем это требование никак не препятствует независимости первых двух. И никак не препятствует выбору третьего события, при котором оно окажется независимым с пересечением двух первых, если только все вероятности достаточно малы (например, при $p_1,p_2<\frac13$ для возможности такого выбора достаточно, чтобы было $p_3<p_1p_2$).

 Профиль  
                  
 
 Re: Независимые события [Теория вероятностей]
Сообщение28.02.2012, 17:02 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/03/08
6950
Москва
Безусловно. Но мой контрпример, хоть и менее общ, более понятен.
Вообще же - независимость в совокупности требует проверки $2^n -1$ условий, а нас спрашивают, достаточно ли проверить n.

 Профиль  
                  
 
 Re: Независимые события [Теория вероятностей]
Сообщение28.02.2012, 18:29 
Аватара пользователя


12/01/11
1315
Москва
Здравствуйте!
Прочитал Ваши сообщения. Получается, что задача неверная? Да?

 Профиль  
                  
 
 Re: Независимые события [Теория вероятностей]
Сообщение28.02.2012, 18:46 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/03/08
6950
Москва
Задача-то верная. Просто ответ её - "Не знаю. Может, и зависимы, может, и независимы. Данных недостаточно"

 Профиль  
                  
 
 Re: Независимые события [Теория вероятностей]
Сообщение28.02.2012, 18:52 
Аватара пользователя


12/01/11
1315
Москва
Евгений Машеров
а то, что я написал это верно или нет?
Условие задачи я полностью написал.

 Профиль  
                  
 
 Re: Независимые события [Теория вероятностей]
Сообщение28.02.2012, 19:05 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/03/08
6950
Москва
Ошибка во фразе
Цитата:
ведь от этого ничего не меняется

 Профиль  
                  
 
 Re: Независимые события [Теория вероятностей]
Сообщение28.02.2012, 19:08 
Аватара пользователя


12/01/11
1315
Москва
Но ведь я взял такую последовательность для удобства записи.
Если я возьму $(i_1, i_2, \dots, i_k)$, то получится тоже самое.

 Профиль  
                  
 
 Re: Независимые события [Теория вероятностей]
Сообщение28.02.2012, 20:49 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/03/08
6950
Москва
Вы рассматриваете малую часть возможных последовательностей

 Профиль  
                  
 
 Re: Независимые события [Теория вероятностей]
Сообщение28.02.2012, 20:53 
Аватара пользователя


12/01/11
1315
Москва
А что тогда делать нужно?

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 21 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group