Независимые события [Теория вероятностей]

[Whitaker]

Здравствуйте еще раз!
Нужна помощь экспертов в решении следующей задачи.
События $A_1, A_2, \dots, A_n$ удовлетворяют условиям $P\{A_i\}=p_i, P\{\cup \limits_{j=1}^{i}A_j\}=p_1\dots p_i, 1\leq i \leq n$. Являются ли события $A_1, A_2, \dots, A_n$ независимыми в совокупности?
События $A_1, A_2, \dots, A_n$ называются независимыми в совокупности, если для любой последовательности $1\leq i_1<i_2<\dots<i_k\leq n$ выполняется равенство $P\{A_{i_1}A_{i_2}\dots A_{i_k}\}=P\{A_{i_1}\}\dots P\{A_{i_k}\}$
Для удобства записи и рассуждения я возьму последовательность (ведь от этого ничего не меняется) $(i_1, i_2, \dots, i_k)=(1, 2,\dots, k)$
$P\{A_1A_2\dots A_k\}=1-P\{\cup_{i=1}^{k} \overline{A_i}\}$ и для последнего я применяю формулу включений-исключений и сделав арифметические преобразования получаю, что:
$P\{A_{1}A_{2}\dots A_{k}\}=(p_1+p_2+\dots+p_k)-(p_1p_2+\dots+p_{k-1}p_k)+(p_1p_2p_3+\dots+p_{k-2}p_{k-1}p_k)-\dots+(-1)^{k-1}p_1p_2\dots p_k;$
Так как $P\{A_1\}P\{A_2\}\dots P\{A_k\}=p_1p_2\dots p_k$, то уже нужно проверить равны ли между собой выражения $(p_1+p_2+\dots+p_k)-(p_1p_2+\dots+p_{k-1}p_k)+(p_1p_2p_3+$$\dots+p_{k-2}p_{k-1}p_k)-\dots+(-1)^{k-1}p_1p_2\dots p_k$$ и $p_1p_2\dots p_k$.
Помогите пожалуйста, а то здесь я уже в ступоре.
Надеюсь я нигде не допустил ляпов и правильно рассуждаю.

С уважением, Whitaker.

[PAV]

Whitaker в сообщении #543330 писал(а):

$P\{A_i\}=p_i, P\{\cup \limits_{j=1}^{i}A_j\}=p_1\dots p_i, 1\leq i \leq n$.

Этого быть не может. Там должно стоять пересечение событий, а не объединение. Иначе нарушается монотонность вероятности: событие стало больше, а вероятность его при этом уменьшилась.

[ewert]

Whitaker в сообщении #543330 писал(а):

$P\{A_i\}=p_i, P\{\cup \limits_{j=1}^{i}A_j\}=p_1\dots p_i, 1\leq i \leq n$. Являются ли события $A_1, A_2, \dots, A_n$ независимыми в совокупности?

В частности: $P(A_i\cup A_k)=P(A_i)P(A_k)$. Возможно ли такое?...

-- не исключено; но лишь в том случае, когда...

[Евгений Машеров]

Помимо замечания по поводу пересечения и объединения, замечу ещё, что условие независимости в совокупности требует выполнения для всех последовательностей. А дано, что выполняется для последовательностей от 1 до j. То есть контрпример может быть таков, например:
есть три события. Выполняется данное условие, но для пересечения событий 2 и 3 вероятность наступления 2 и 3 не равна $p_2 p_3$

[ewert]

Евгений Машеров в сообщении #543382 писал(а):

То есть контрпример может быть таков, например:
есть три события. Выполняется данное условие, но для пересечения событий 2 и 3 вероятность наступления 2 и 3 не равна $p_2 p_3$

Это ещё не контрпример -- его ещё надо построить. Или хотя бы объяснить, почему такое построение возможно (т.е. почему исходное условие не является достаточно жёстким).

Если, конечно, в условии действительно заменить объединение на пересечение. В принципе-то оба варианта задачи более-менее осмысленны. Только вопрос в любом случае сформулирован неаккуратно. Вместо "являются ли?" в случае с пересечением следовало бы спросить "обязательно ли являются?", в случае с объединением -- "могут ли являться?".

[Евгений Машеров]

Прошу прощения за задержку с примером . Он простой.
События - выпадение орла в 1-м, 2-м, 3-м бросаниях.
Первое - "честное" с вероятностью 0.5. Если выпал орёл - два другие тоже "честные", независимые с вероятностью 0.5
Если выпала решка - второе бросание "честное", третье - его дубль.
При этом вероятности выпадения орлов в первом, первом и втором и первом, втором и третьем, соответственно, 0.5, 0.25 и 0.125.
Но события 2 и 3 уже не независимы.
Вероятность события 3 при условии 2 не 0.25, как если бы независимы, а 0.375

[ewert]

Я бы предложил контрпример абстрактнее. Пусть пересечение всех трёх содержится в пересечении двух первых. Тогда ни о какой независимости в совокупности говорить, конечно, не приходится -- хотя бы потому, что тогда пересечение всех трёх совпадает содержится во втором, т.е. второе явно зависит от пересечения первого и третьего. Между тем это требование никак не препятствует независимости первых двух. И никак не препятствует выбору третьего события, при котором оно окажется независимым с пересечением двух первых, если только все вероятности достаточно малы (например, при $p_1,p_2<\frac13$ для возможности такого выбора достаточно, чтобы было $p_3<p_1p_2$).

[Евгений Машеров]

Безусловно. Но мой контрпример, хоть и менее общ, более понятен.
Вообще же - независимость в совокупности требует проверки $2^n -1$ условий, а нас спрашивают, достаточно ли проверить n.

[Whitaker]

Здравствуйте!
Прочитал Ваши сообщения. Получается, что задача неверная? Да?

[Евгений Машеров]

Задача-то верная. Просто ответ её - "Не знаю. Может, и зависимы, может, и независимы. Данных недостаточно"

[Whitaker]

Евгений Машеров
а то, что я написал это верно или нет?
Условие задачи я полностью написал.

[Евгений Машеров]

Ошибка во фразе

Цитата:

ведь от этого ничего не меняется

[Whitaker]

Но ведь я взял такую последовательность для удобства записи.
Если я возьму $(i_1, i_2, \dots, i_k)$, то получится тоже самое.

[Евгений Машеров]

Вы рассматриваете малую часть возможных последовательностей

[Whitaker]

А что тогда делать нужно?