Независимые события [Теория вероятностей]

[Whitaker]

PAV в сообщении #543375 писал(а):

Whitaker в сообщении #543330 писал(а):

$P\{A_i\}=p_i, P\{\cup \limits_{j=1}^{i}A_j\}=p_1\dots p_i, 1\leq i \leq n$.

Этого быть не может. Там должно стоять пересечение событий, а не объединение. Иначе нарушается монотонность вероятности: событие стало больше, а вероятность его при этом уменьшилась.

PAV я Вас не понял, но Вы наверное имеете это ввиду?
Например возьмем события $A_1, A_2, A_3$. Так как $A_1 \subset A_1\cup A_2\cup A_3$, то по свойству монотонности получаем: $P\{A_1\}\leq P\{A_1\cup A_2\cup A_3\}$, т.е. $p_1\leq p_1p_2p_3$ и отсюда получаем, что: $p_2p_3\geq 1$, а это означает, что хотя бы один из $p_2$ или $p_3 \geq 1$.
Я Вас правильно понял?

[ewert]

Whitaker в сообщении #543604 писал(а):

А что тогда делать нужно?

Для начала -- определиться наконец, что там в точности стояло в условии: объединения или пересечения. Если (как я формально воспринял) и впрямь объединения -- то см. мой первый ответ. Если же (как все остальные с негодованием скорректировали) пересечения -- то см. всех остальных (ну и меня немножко).

[Евгений Машеров]

Ну, лично я бы отвечал: "Приведенное в задаче условие является необходимым, но не достаточным для независимости событий в совокупности. Существуют последовательности событий, удовлетворяющие приведенному условию, но не независимые." и привёл бы пример такой последовательности (эээ... собственно, и привёл:
ООО
ООР
ОРО
ОРР
РОО
РОО
РРР
РРР
где вероятности выпадения орла и решки одинаковы между собой и во всех испытаниях, события 1, 2 и 3 это выпадения орла в первом, втором и третьем бросаниях, вероятности их $p_1= p_2 = p_3 =0.5$
$P(1)=p_1 = 0.5$
$ЗP(1,2)=p_1 p_2=0.25$
$P(1,2,3)= p_1 p_2 p_3 = 0.125$
То есть условия задачи выполняются.
Но для события "орёл выпал во втором и третьем испытании"
$P(2,3)=0.375 \neq p_2 p_3$
То есть условие независимости событий не выполняется.

[PAV]

Whitaker в сообщении #543681 писал(а):

Например возьмем события $A_1, A_2, A_3$. Так как $A_1 \subset A_1\cup A_2\cup A_3$, то по свойству монотонности получаем: $P\{A_1\}\leq P\{A_1\cup A_2\cup A_3\}$, т.е. $p_1\leq p_1p_2p_3$ и отсюда получаем, что: $p_2p_3\geq 1$, а это означает, что хотя бы один из $p_2$ или $p_3 \geq 1$.
Я Вас правильно понял?

Да, так. А поскольку, с другой стороны, все $p_i\le 1$, тогда отсюда сразу получаем, что все вероятности $p_i$, начиная со второй, должны быть равны 1. В этом случае, кстати, очевидно что независимость имеет место. События, имеющие вероятность 1, независимы с любыми другими.

-- Ср фев 29, 2012 09:34:06 --

Но это уж как-то слишком тривиально, хотя такая постановка формально действительно допустима. Однако мне все-таки кажется, что в условии опечатка и там должны быть пересечения. Тогда нужно и вправду подобрать контрпример. Для этого вроде как должно хватать трех событий. В детали предложенного участниками контрпримера я не вникал.

-- Ср фев 29, 2012 09:42:15 --

Я бы подошел к построению контрпримера так. Взял бы действительно троекратное бросание "монеты" и обозначил через $A_i$ - выпадение герба на шаге $i$. А затем, сохранив требование $P(A_i)=0.5$, пошевелил бы те вероятности, которые получится, так чтобы $P(A_2A_3)\ne 0.25$. У нас есть 8 неизвестных вероятностей отдельных элементарных исходов, на которые наложены 6 линейных ограничений. Так что остается еще две степени свободы, так что должно получиться.

[ewert]

PAV в сообщении #543736 писал(а):

получаем, что все вероятности $p_i$, начиная со второй, должны быть равны 1.

Это один возможный вариант.

Да, кстати. А почему со второй-то?...

[Whitaker]

Евгений Машеров в сообщении #543733 писал(а):

Но для события "орёл выпал во втором и третьем испытании"
$P(2,3)=0.375 \neq p_2 p_3$
То есть условие независимости событий не выполняется.

Извините, а почему $P(2,3)=0,375$?
У меня получилось, что $P(2,3)=1/4$