2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2
 
 Re: Независимые события [Теория вероятностей]
Сообщение28.02.2012, 22:55 
Аватара пользователя


12/01/11
1320
Москва
PAV в сообщении #543375 писал(а):
Whitaker в сообщении #543330 писал(а):
$P\{A_i\}=p_i, P\{\cup \limits_{j=1}^{i}A_j\}=p_1\dots p_i, 1\leq i \leq n$.


Этого быть не может. Там должно стоять пересечение событий, а не объединение. Иначе нарушается монотонность вероятности: событие стало больше, а вероятность его при этом уменьшилась.

PAV я Вас не понял, но Вы наверное имеете это ввиду?
Например возьмем события $A_1, A_2, A_3$. Так как $A_1 \subset A_1\cup A_2\cup A_3$, то по свойству монотонности получаем: $P\{A_1\}\leq P\{A_1\cup A_2\cup A_3\}$, т.е. $p_1\leq p_1p_2p_3$ и отсюда получаем, что: $p_2p_3\geq 1$, а это означает, что хотя бы один из $p_2$ или $p_3 \geq 1$.
Я Вас правильно понял?

 Профиль  
                  
 
 Re: Независимые события [Теория вероятностей]
Сообщение29.02.2012, 01:07 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
Whitaker в сообщении #543604 писал(а):
А что тогда делать нужно?

Для начала -- определиться наконец, что там в точности стояло в условии: объединения или пересечения. Если (как я формально воспринял) и впрямь объединения -- то см. мой первый ответ. Если же (как все остальные с негодованием скорректировали) пересечения -- то см. всех остальных (ну и меня немножко).

 Профиль  
                  
 
 Re: Независимые события [Теория вероятностей]
Сообщение29.02.2012, 08:25 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/03/08
9490
Москва
Ну, лично я бы отвечал: "Приведенное в задаче условие является необходимым, но не достаточным для независимости событий в совокупности. Существуют последовательности событий, удовлетворяющие приведенному условию, но не независимые." и привёл бы пример такой последовательности (эээ... собственно, и привёл:
ООО
ООР
ОРО
ОРР
РОО
РОО
РРР
РРР
где вероятности выпадения орла и решки одинаковы между собой и во всех испытаниях, события 1, 2 и 3 это выпадения орла в первом, втором и третьем бросаниях, вероятности их $p_1= p_2 = p_3 =0.5$
$P(1)=p_1 = 0.5$
$ЗP(1,2)=p_1 p_2=0.25$
$P(1,2,3)= p_1 p_2 p_3 = 0.125$
То есть условия задачи выполняются.
Но для события "орёл выпал во втором и третьем испытании"
$P(2,3)=0.375 \neq p_2 p_3$
То есть условие независимости событий не выполняется.

 Профиль  
                  
 
 Re: Независимые события [Теория вероятностей]
Сообщение29.02.2012, 08:31 
Супермодератор
Аватара пользователя


29/07/05
8248
Москва
Whitaker в сообщении #543681 писал(а):
Например возьмем события $A_1, A_2, A_3$. Так как $A_1 \subset A_1\cup A_2\cup A_3$, то по свойству монотонности получаем: $P\{A_1\}\leq P\{A_1\cup A_2\cup A_3\}$, т.е. $p_1\leq p_1p_2p_3$ и отсюда получаем, что: $p_2p_3\geq 1$, а это означает, что хотя бы один из $p_2$ или $p_3 \geq 1$.
Я Вас правильно понял?


Да, так. А поскольку, с другой стороны, все $p_i\le 1$, тогда отсюда сразу получаем, что все вероятности $p_i$, начиная со второй, должны быть равны 1. В этом случае, кстати, очевидно что независимость имеет место. События, имеющие вероятность 1, независимы с любыми другими.

-- Ср фев 29, 2012 09:34:06 --

Но это уж как-то слишком тривиально, хотя такая постановка формально действительно допустима. Однако мне все-таки кажется, что в условии опечатка и там должны быть пересечения. Тогда нужно и вправду подобрать контрпример. Для этого вроде как должно хватать трех событий. В детали предложенного участниками контрпримера я не вникал.

-- Ср фев 29, 2012 09:42:15 --

Я бы подошел к построению контрпримера так. Взял бы действительно троекратное бросание "монеты" и обозначил через $A_i$ - выпадение герба на шаге $i$. А затем, сохранив требование $P(A_i)=0.5$, пошевелил бы те вероятности, которые получится, так чтобы $P(A_2A_3)\ne 0.25$. У нас есть 8 неизвестных вероятностей отдельных элементарных исходов, на которые наложены 6 линейных ограничений. Так что остается еще две степени свободы, так что должно получиться.

 Профиль  
                  
 
 Re: Независимые события [Теория вероятностей]
Сообщение29.02.2012, 09:15 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
PAV в сообщении #543736 писал(а):
получаем, что все вероятности $p_i$, начиная со второй, должны быть равны 1.

Это один возможный вариант.

Да, кстати. А почему со второй-то?...

 Профиль  
                  
 
 Re: Независимые события [Теория вероятностей]
Сообщение15.03.2012, 13:03 
Аватара пользователя


12/01/11
1320
Москва
Евгений Машеров в сообщении #543733 писал(а):
Но для события "орёл выпал во втором и третьем испытании"
$P(2,3)=0.375 \neq p_2 p_3$
То есть условие независимости событий не выполняется.

Извините, а почему $P(2,3)=0,375$?
У меня получилось, что $P(2,3)=1/4$

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 21 ]  На страницу Пред.  1, 2

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group