Упростить функцию

[samuil]

Упростить, а затем построить функцию.

$f(x)=\dfrac{\sqrt[3]{x+\sqrt{2-x^2}}\cdot \sqrt[6]{1-x\sqrt{2-x^2}}}{\sqrt[3]{1-x^2}}$

Сделал это, но $y(2)=\dfrac{\sqrt[6]{2}}{\sqrt[3]{-3}}$, а по той формуле, которую я получил при любом икс из ОДЗ $y=\sqrt[6]{2}$. Но ведь $x=2$ входит в ОДЗ. Значения не совпадают. Почему?

$$f(x)=\dfrac{\sqrt[3]{x+\sqrt{2-x^2}}\cdot \sqrt[6]{1-x\sqrt{2-x^2}}}{\sqrt[3]{1-x^2}}=\dfrac{\sqrt[6]{(x+\sqrt{2-x^2})^2(1-x\sqrt{2-x^2})}}{\sqrt[3]{1-x^2}}=$$

$$=\dfrac{\sqrt[6]{(x^2+2-x^2+2x\sqrt{2-x^2})(1-x\sqrt{2-x^2})}}{\sqrt[3]{1-x^2}}= \dfrac{\sqrt[6]{2(1+x\sqrt{2-x^2})(1-x\sqrt{2-x^2})}}{\sqrt[3]{1-x^2}}=$$

$$=\dfrac{\sqrt[6]{2(1-x^2(2-x^2)^2)}}{\sqrt[3]{1-x^2}}=\dfrac{\sqrt[6]{2(1-2x^2+x^4)}}{\sqrt[3]{1-x^2}}=\dfrac{\sqrt[6]{2(1-x^2)^2}}{\sqrt[3]{1-x^2}}=\sqrt[6]{2}$$

[ewert]

$\sqrt[6]{(1-x^2)^2}=\sqrt[3]{|1-x^2|}$

[samuil]

ewert в сообщении #543047 писал(а):

$\sqrt[6]{(1-x^2)^2}=\sqrt[3]{|1-x^2|}$

Спасибо. Тогда $y=\pm \sqrt[6]{2}$

Тем не менее, $\dfrac{\sqrt[6]{2}}{\sqrt[3]{-3}}\ne \pm \sqrt[6]{2}$

[hippie]

Ошибка здесь: $\frac{\sqrt[6]{2(1+x\sqrt{2-x^2})(1-x\sqrt{2-x^2})}}{\sqrt[3]{1-x^2}}=\frac{\sqrt[6]{2(1-x^2(2-x^2)^2)}}{\sqrt[3]{1-x^2}}$ (переход от второй строки преобразований к третьей).

У Вас появился лишний квадрат. В действительности $\sqrt{2-x^2}^2=2-x^2\ne(2-x^2)^2.$

И ещё, Вы уверены, что $x=2$ входит в ОДЗ? Если да, то хотелось бы узнать, как Вы при этом понимаете корни из комплексных чисел.

[samuil]

hippie в сообщении #543072 писал(а):

Ошибка здесь: $\frac{\sqrt[6]{2(1+x\sqrt{2-x^2})(1-x\sqrt{2-x^2})}}{\sqrt[3]{1-x^2}}=\frac{\sqrt[6]{2(1-x^2(2-x^2)^2)}}{\sqrt[3]{1-x^2}}$ (переход от второй строки преобразований к третьей).

У Вас появился лишний квадрат. В действительности $\sqrt{2-x^2}^2=2-x^2\ne(2-x^2)^2.$

И ещё, Вы уверены, что $x=2$ входит в ОДЗ? Если да, то хотелось бы узнать, как Вы при этом понимаете корни из комплексных чисел.

Спасибо. Это скорее описка, так как дальше я написал с учетом того, что квадрата нету лишнего. Дальше получается тоже самое, за исключением $\pm$

А почему не входит в ОДЗ? Ведь корень из $\sqrt[3]{-3}\approx -1,44224957$

[hippie]

samuil в сообщении #543075 писал(а):

hippie в сообщении #543072 писал(а):

Ошибка здесь: $\frac{\sqrt[6]{2(1+x\sqrt{2-x^2})(1-x\sqrt{2-x^2})}}{\sqrt[3]{1-x^2}}=\frac{\sqrt[6]{2(1-x^2(2-x^2)^2)}}{\sqrt[3]{1-x^2}}$ (переход от второй строки преобразований к третьей).

У Вас появился лишний квадрат. В действительности $\sqrt{2-x^2}^2=2-x^2\ne(2-x^2)^2.$

И ещё, Вы уверены, что $x=2$ входит в ОДЗ? Если да, то хотелось бы узнать, как Вы при этом понимаете корни из комплексных чисел.

Спасибо. Это скорее описка, так как дальше я написал с учетом того, что квадрата нету лишнего. Дальше получается тоже самое, за исключением $\pm$

Действительно. Не обратил внимание, что дальше это исчезает . Функция на ОДЗ действительно равна $\pm \sqrt[6]{2}.$

Но при $x=2$ получается

$$f(2)=\frac{\sqrt[3]{2+\sqrt{-2}}\cdot \sqrt[6]{1-2\sqrt{-2}}}{\sqrt[3]{-3}},$$

т.е. в числителе стоит произведение корней из комплексных чисел .

[bot]

samuil в сообщении #543075 писал(а):

А почему не входит в ОДЗ?

А попробуйте подставить $x=2\, $ в $\, \sqrt{2-x^2}$.
Кстати, уже первое преобразование ошибочно.
$\sqrt[3]{x+\sqrt{2-x^2}}=\text{sgn} (x+1) \sqrt[6]{(x+\sqrt{2-x^2})^2}$

[samuil]

bot в сообщении #543083 писал(а):

samuil в сообщении #543075 писал(а):

А почему не входит в ОДЗ?

А попробуйте подставить $x=2\, $ в $\, \sqrt{2-x^2}$.
Кстати, уже первое преобразование ошибочно.
$\sqrt[3]{x+\sqrt{2-x^2}}=\text{sgn} (x+1) \sqrt[6]{(x+\sqrt{2-x^2})^2}$

Спасибо, понятно. Правильно ли ОДЗ?

ОДЗ: $x\in[-\sqrt{2},-1)\cup(-1,1)\cup(1,\sqrt{2}]$

[bot]

samuil в сообщении #543143 писал(а):

А разве в ОДЗ не говорится

Вы сами себе противоречите, указывая в ОДЗ три промежутка, из которых только два удовлетворяют требованию $x\geqslant -1$. Без $\text{sgn}$ равенство нарушится при $-\sqrt2\leqslant x< -1$