2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Упростить функцию
Сообщение27.02.2012, 00:58 
Упростить, а затем построить функцию.

$f(x)=\dfrac{\sqrt[3]{x+\sqrt{2-x^2}}\cdot \sqrt[6]{1-x\sqrt{2-x^2}}}{\sqrt[3]{1-x^2}}$

Сделал это, но $y(2)=\dfrac{\sqrt[6]{2}}{\sqrt[3]{-3}}$, а по той формуле, которую я получил при любом икс из ОДЗ $y=\sqrt[6]{2}$. Но ведь $x=2$ входит в ОДЗ. Значения не совпадают. Почему?

$$f(x)=\dfrac{\sqrt[3]{x+\sqrt{2-x^2}}\cdot \sqrt[6]{1-x\sqrt{2-x^2}}}{\sqrt[3]{1-x^2}}=\dfrac{\sqrt[6]{(x+\sqrt{2-x^2})^2(1-x\sqrt{2-x^2})}}{\sqrt[3]{1-x^2}}=$$

$$=\dfrac{\sqrt[6]{(x^2+2-x^2+2x\sqrt{2-x^2})(1-x\sqrt{2-x^2})}}{\sqrt[3]{1-x^2}}=
\dfrac{\sqrt[6]{2(1+x\sqrt{2-x^2})(1-x\sqrt{2-x^2})}}{\sqrt[3]{1-x^2}}=$$

$$=\dfrac{\sqrt[6]{2(1-x^2(2-x^2)^2)}}{\sqrt[3]{1-x^2}}=\dfrac{\sqrt[6]{2(1-2x^2+x^4)}}{\sqrt[3]{1-x^2}}=\dfrac{\sqrt[6]{2(1-x^2)^2}}{\sqrt[3]{1-x^2}}=\sqrt[6]{2}$$

 
 
 
 Re: Функция
Сообщение27.02.2012, 01:05 
$\sqrt[6]{(1-x^2)^2}=\sqrt[3]{|1-x^2|}$

 
 
 
 Re: Функция
Сообщение27.02.2012, 01:10 
ewert в сообщении #543047 писал(а):
$\sqrt[6]{(1-x^2)^2}=\sqrt[3]{|1-x^2|}$


Спасибо. Тогда $y=\pm \sqrt[6]{2}$

Тем не менее, $\dfrac{\sqrt[6]{2}}{\sqrt[3]{-3}}\ne \pm \sqrt[6]{2}$

 
 
 
 Re: Функция
Сообщение27.02.2012, 04:54 
Ошибка здесь: $\frac{\sqrt[6]{2(1+x\sqrt{2-x^2})(1-x\sqrt{2-x^2})}}{\sqrt[3]{1-x^2}}=\frac{\sqrt[6]{2(1-x^2(2-x^2)^2)}}{\sqrt[3]{1-x^2}}$ (переход от второй строки преобразований к третьей).

У Вас появился лишний квадрат. В действительности $\sqrt{2-x^2}^2=2-x^2\ne(2-x^2)^2.$

И ещё, Вы уверены, что $x=2$ входит в ОДЗ? Если да, то хотелось бы узнать, как Вы при этом понимаете корни из комплексных чисел.

 
 
 
 Re: Функция
Сообщение27.02.2012, 05:20 
hippie в сообщении #543072 писал(а):
Ошибка здесь: $\frac{\sqrt[6]{2(1+x\sqrt{2-x^2})(1-x\sqrt{2-x^2})}}{\sqrt[3]{1-x^2}}=\frac{\sqrt[6]{2(1-x^2(2-x^2)^2)}}{\sqrt[3]{1-x^2}}$ (переход от второй строки преобразований к третьей).

У Вас появился лишний квадрат. В действительности $\sqrt{2-x^2}^2=2-x^2\ne(2-x^2)^2.$

И ещё, Вы уверены, что $x=2$ входит в ОДЗ? Если да, то хотелось бы узнать, как Вы при этом понимаете корни из комплексных чисел.


Спасибо. Это скорее описка, так как дальше я написал с учетом того, что квадрата нету лишнего. Дальше получается тоже самое, за исключением $\pm$

А почему не входит в ОДЗ? Ведь корень из $\sqrt[3]{-3}\approx -1,44224957$

 
 
 
 Re: Функция
Сообщение27.02.2012, 06:27 
samuil в сообщении #543075 писал(а):
hippie в сообщении #543072 писал(а):
Ошибка здесь: $\frac{\sqrt[6]{2(1+x\sqrt{2-x^2})(1-x\sqrt{2-x^2})}}{\sqrt[3]{1-x^2}}=\frac{\sqrt[6]{2(1-x^2(2-x^2)^2)}}{\sqrt[3]{1-x^2}}$ (переход от второй строки преобразований к третьей).

У Вас появился лишний квадрат. В действительности $\sqrt{2-x^2}^2=2-x^2\ne(2-x^2)^2.$

И ещё, Вы уверены, что $x=2$ входит в ОДЗ? Если да, то хотелось бы узнать, как Вы при этом понимаете корни из комплексных чисел.


Спасибо. Это скорее описка, так как дальше я написал с учетом того, что квадрата нету лишнего. Дальше получается тоже самое, за исключением $\pm$

Действительно. Не обратил внимание, что дальше это исчезает :oops: . Функция на ОДЗ действительно равна $\pm \sqrt[6]{2}.$

Но при $x=2$ получается $$f(2)=\frac{\sqrt[3]{2+\sqrt{-2}}\cdot \sqrt[6]{1-2\sqrt{-2}}}{\sqrt[3]{-3}},$$
т.е. в числителе стоит произведение корней из комплексных чисел :-( .

 
 
 
 Re: Функция
Сообщение27.02.2012, 06:46 
Аватара пользователя
samuil в сообщении #543075 писал(а):
А почему не входит в ОДЗ?

А попробуйте подставить $x=2\, $ в $\, \sqrt{2-x^2}$.
Кстати, уже первое преобразование ошибочно.
$\sqrt[3]{x+\sqrt{2-x^2}}=\text{sgn} (x+1) \sqrt[6]{(x+\sqrt{2-x^2})^2}$

 
 
 
 Re: Функция
Сообщение27.02.2012, 14:01 
bot в сообщении #543083 писал(а):
samuil в сообщении #543075 писал(а):
А почему не входит в ОДЗ?

А попробуйте подставить $x=2\, $ в $\, \sqrt{2-x^2}$.
Кстати, уже первое преобразование ошибочно.
$\sqrt[3]{x+\sqrt{2-x^2}}=\text{sgn} (x+1) \sqrt[6]{(x+\sqrt{2-x^2})^2}$


Спасибо, понятно. Правильно ли ОДЗ?

ОДЗ: $x\in[-\sqrt{2},-1)\cup(-1,1)\cup(1,\sqrt{2}]$

 
 
 
 Re: Функция
Сообщение27.02.2012, 14:10 
Аватара пользователя
samuil в сообщении #543143 писал(а):
А разве в ОДЗ не говорится

Вы сами себе противоречите, указывая в ОДЗ три промежутка, из которых только два удовлетворяют требованию $x\geqslant -1$. Без $\text{sgn}$ равенство нарушится при $-\sqrt2\leqslant x< -1$

 
 
 [ Сообщений: 9 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group