Найти точки разрыва функции двух переменных

[Dosaev]

Найти все точки разрыва, указать точки устранимого разрыва функции двух переменных

$u = \left\{\begin{matrix} \frac{x^3 + y^3}{x + y}, x + y \not = 0 \\ 3, x + y = 0 \end{matrix} \right$

При $x + y \not = 0$ функция легким движением руки приводится к виду $u = x^2 - xy + y^2$ и ясно что она непрерывна на $R^2\setminus \{x, y : x + y = 0\}$.
Но как доказать что функция не является непрерывной при $x + y = 0$? Надо показать что $\lim_{(x, y) \to (x_0, y_0)}u(x;y)\not = 3$ для всех (x, y) таких что x + y = 0.
Если составлять отрицание определения непрерывности, то там бред получается. Что делать?

[ewert]

Dosaev в сообщении #542621 писал(а):

$\lim_{(x, y) \to (x_0, y_0)}u(x;y)\not = 3$ для всех (x, y) таких что x + y = 0.

Ну не совсем при всех, однако. Лишь кроме двух точек пересечения той прямой с тем эллипсом.

[gris]

Используйте, что на прямой $x+y=0$ выражение $x^2-xy+y^2$ равно чему?

[Dosaev]

gris в сообщении #542628 писал(а):

Используйте, что на прямой $x+y=0$ выражение $x^2-xy+y^2$ равно чему?

$3x^2$?
Но у нас же нет права рассматривать выражение $x^2 - xy +y^2$ если x+y =0

[ewert]

Dosaev в сообщении #542634 писал(а):

Но у нас же нет права рассматривать выражение $x^2 - xy +y^2$ если x+y =0

Вы ж собирались рассматривать там вовсе не само это выражение, а предел этого выражения. И вроде как наконец собрались. Ну так и продолжайте.

[gris]

Кстати, находить этот предел нужно лишь в точках, подозреваемых на устранимый разрыв, а там, где мы подозреваем неустранимый разрыв, надо воспользоваться отрицанием непрерывности, о котором Вы говорили. Для этого очень хорошо подходит определение предела по Гейне.

[Dosaev]

ewert в сообщении #542637 писал(а):

Вы ж собирались рассматривать там вовсе не само это выражение, а предел этого выражения. И вроде как наконец собрались. Ну так и продолжайте.

То есть мы берем произвольные точки $(x_0; y_0)$, но такие что $x_0 + y_0 = 0$ и по определению непрерывности проверяем является ли 3 пределом этой функции в этих точках?

-- Вс фев 26, 2012 13:24:26 --

Хорошо, у меня получается в точках $x_0, y_0$ предел функции равен $3x_0^2$ (либо $3y_0^2$) через Гейне. Почему тогда в ответе точки (1; -1) и (-1; 1) точки устранимого разрыва? Почему они вообще точки разрыва?

[AKM]

Dosaev,

Вы забыли поставить закрывающий доллар, а потом, видимо, начали вручную тэги вставлять (тоже неправильно):

Dosaev в сообщении #542734 писал(а):

функции равен [math]$3x_0^2[math]

Вроде у Вас есть время исправить сообщение (кнопка ).

[gris]

А как для функции нескольких переменных определяется точка устранимого разрыва?
В указанных двух точках функция будет непрерывной. В остальных точках прямой — разрывной.

[Dosaev]

Еще раз: я делал так: рассмотрим произвольную последовательность $\tilde{x_k} = (x_0 + \alpha_k, y_0) \to (x_0, y_0)$ при $k \to \infty$, где $\alpha_k$ - беск. малая посл-ть, не равная нулю; $x_0 + y_0 = 0;$
Тогда $lim_{k \to \infty}{u(\tilde{x_k})} = lim_{k \to \infty}{((x_0 + \alpha_k)^2 -(x_0 + \alpha_k)y_0 + y_0^2)} =x_0^2 -x_0y_0 + y_0^2 = 3x_0^2;$
При $x_0 = 1, x_0 =-1$, соответственно при $у_0 = -1, у_0 = 1$ функция $u(x; y)$ - непрерывна в этих точках.
В остальных точках прямой x + y функция разрывна. Эти точки являются точками устранимого разрыва, потому что предел функции в них по доказанному выше существует.

[gris]

В точке $(0,0)$, например, предел функции не существует. По одному множеству он равен нулю, по другому трём. А этой точке нельзя переопределить функцию так, чтобы она стала непрерывной.
Поэтому и вопрос: в том курсе, откуда задача, как именно определяются точки устранимого разрыва? И вообще они где-нибудь определяются иначе, как "точка, в которой можно переопределить функцию так, чтобы она стала непрерывной."
Переопределить только в одной точке. А ведь можно переопределить на нашей прямой вот так: $u\big|_{x+y=0} =3x^2$ и вся функция будет непрерывной.

[Dosaev]

gris в сообщении #542804 писал(а):

Поэтому и вопрос: в том курсе, откуда задача, как именно определяются точки устранимого разрыва? И вообще они где-нибудь определяются иначе, как "точка, в которой можно переопределить функцию так, чтобы она стала непрерывной."

Вообще нам давали такое определение: если пределы слева и справа в точке существуют и равны, то эта точка - точка устранимого разрыва.
Но в Зориче написано что точка устранимого разрыва - это точка в которой предел существует но не равен значеню функции в этой точке. Я использовал последнее, оно здесь больше подходит.

[gris]

Справа и слева для функции одного переменного.
Вот именно по Зоричу для точек нашей прямой предел существует только для двух точек, но в них он равен значению функции в этих точках, то есть функция в них непрерывна. А в остальных точках прямой предела не существует.
А задача откуда? Может быть там в условии ещё что-то есть?

[Dosaev]

Задача из сборника задач Кудрявцева т.3 №62.5. Что-то я не совсем понял что вы хотели сказать про переопредление, ведь мы можем применить мое определение для любой точки $(x_0, y_0)$, в том числе и для точки (00)

[gris]

Да. Там и с 62.11 та же история. В 62.1 понятно, там функция неопределена в точке устранимого разрыва.
А какое именно ваше определение? То, где пределы справа и слева? Оно лишь для функций одной переменной. Предел по биссектрисе второго координатного угла отличается.
У Кудрявцева стандартное определение. Предел в точке устранимого разрыва существует, но не равен значению функции в этой точке, либо функция в этой точке не определена. Ничто не подходит.
Ну уж не знаю.

Функция состоит из двух компонент. В начале координат, например, превая компонента имеет предел по своей области определения, и он равен нулю. Вторая компонента тоже имеет предел по своей области определения, но он равен трём. То есть по всей своей области определения "объединённая" функция в начале координат предела не имеет. И оно никак не может быть точкой устранимого разрыва.