Киевские отборы на Всеукраинскую олимпиаду 2007

[Батороев]

worm2 писал(а):

Батороев:

Просто кое-кто не уточнил, что M1, M2, M3 --- это совсем не вершины исходного треугольника, а вовсе даже середины его сторон (про которые говорится в условии).

Добавлено спустя 4 минуты 55 секунд:

Я тоже не сакцентировал внимание на границе. Исправляюся.

Тогда - это пересечение медиан, т.к. треугольник М1, М2, М3 есть повторение большого ( все стороны - средние линии большого) и, если будем продолжать подобные действия далее, рассматривая уже треугольник М1М2М3, как исходный, то мы придем к точке.

[La|Verd]

Батороев писал(а):

worm2 писал(а):

Батороев:

Просто кое-кто не уточнил, что M1, M2, M3 --- это совсем не вершины исходного треугольника, а вовсе даже середины его сторон (про которые говорится в условии).

Добавлено спустя 4 минуты 55 секунд:

Я тоже не сакцентировал внимание на границе. Исправляюся.

Тогда - это пересечение медиан, т.к. треугольник М1, М2, М3 есть повторение большого ( все стороны - средние линии большого) и, если будем продолжать подобные действия далее, рассматривая уже треугольник М1М2М3, как исходный, то мы придем к точке.

Интересно каким образом, рассматривая М1М2М3, вы прийдете к точке.

Добавлено спустя 37 минут 19 секунд:

Батороев писал(а):

La|Verd писал(а):

Trius писал(а):

1):) решить уравнение $1+2x+3x^2+4x^3+....+2007x^{2006}=0$
2) из середины каждой стороны треугольника проведены прямые, которые делят труегольник на две части с одинаковым периметром. Доказать что эти прямые пересекаются в одной точке.
3)Задано n различных множеств. Рассматриваются их попарные пересечения и объединения. Доказать что среди этих $n(n-1)$ множеств найдется хотя бы $n$ различных.

1 и 2 решаются достаточно просто. В первом надо только знать формулу суммы геометрической прогрессии. Во втором эти прямые являются биссектрисами треугольника $M_1M_2M_3$.

Вообще - не факт, что эти прямые "пойдут" в вершину треугольника

Исправляюсь - не уточнил. Я просто привык работать в одной системе обозначений. М1 - середина стороны ВС, М2 - АС, М3 - АВ. Следовательно, с помощью теоремы Архимеда достаточно легко показывается, что если прямая проходит через середину стороны и делит периметр исходного треугольника АВС пополам, то она параллельна биссектрисе, проведенной к этой стороне. Далее остается доказать, что эти прямые будут биссектрисами треугольника М1М2М3 (что практически очевидно). Ну и так как они являются биссектрисами, то они всегда пересекаются в одной точке.

А вот с первой задачкой дело обстоит совсем легко...

[Macavity]

Первая задача действительно представляется несложной, как будто геометрическая прогрессия несколько раз....

А что касается задачи 3, то думаю надо пробовать по математической индукции:
1. Если n=2, то объединение и пересечение двух различных множеств даст два различных множества.
2. Предполагается истинность для n различных множеств.
3. Дальше надо убедится, что добавление ещё одного множества не равного ни одному из остальных при n пересечениях и n объединениях даст хотя бы одно множество...
Рассмотреть различные варианты, ну например, если в n плюс первое множество входит элемент, не входящий ни в одно из предыдущих n, то очевидно, последнее объединение n плюс первого множества с предыдущими даст хотя бы одно новое...
Или если n плюс первое множество это объединение предыдущих n множеств, то несложно догадаться, что n+1 различное множество опять гарантировано...

[Батороев]

La|Verd писал(а):

Интересно каким образом, рассматривая М1М2М3, вы прийдете к точке.

Похоже, что я пошел по ложному пути


Мой ход рассуждений был таким:
"Особого значения не имеет, как конкретно в треугольнике ABC проходят указанные прямые.
Важнее то, что треугольник М1М2М3 в точности (в масштабе 1:2) повторяет треугольник АВС, следовательно, и прямые в нем расположены относительно самого треугольника точно так же.
Если в треугольнике M1M2M3 аналогично (на серединах сторон треугольника М1М2М3) построить новый треугольник, например, N1N2N3, то и он повторит треугольник АВС (соответственно, М1М2М3) и т.д.
По мере продвижения по этому «и т.д.» мы приближаемся к точке – пересечению медиан.
Трудно представить, чтобы внутренние построения при этом к точке не приближались.
Но все же, если предположить, что, заданные условием задачи, прямые не пересекаются в одной точке, то в каком-то из треугольников должна быть нарушена вышеуказанная «повторяемость», чего быть не может, т.к. все построения мы производили на соответствующих средних линиях, свойства которых действительны для любых треугольников".

Но этот ход рассуждений справедлив только для прямых, делящих площадь треугольника пополам.

[Trius]

что за теорема Архимеда?

[La|Verd]

Trius писал(а):

что за теорема Архимеда?

http://www.problems.ru/view_problem_det ... p?id=52494

[La|Verd]

Могу предложить еще пару задач с Киевских отборов. Правда, за 9-й класс.

1. Доказать, что для любого иррационального числа $a$ существуют такие иррациональные числа $b$ и $c$, что числа $a+b$ и $a\cdot c $ рациональны, а числа $a\cdot b $ и $a+c$ - иррациональны.

2. Точки K, M и N - середины сторон AB, CD и AD выпуклого четырехугольника ABCD соответственно; L - середина отрезка AN. Прямые AM, BN, CL и DK пересекаются в одной точке O. Докажите, что ломаная BOM делит четырехугольник на две равные по площади фигуры.

3. Пусть $a_1, a_2, ..., a_n $ - некая перестановка чисел 1, 2, ..., $n$. Обозначим через $f(n)$ количество таких перестановок, которые одновременно удовлетворяют условия: а) $a_1 = 1$, б) $|a_{i+1}-a_i|\leqslant 2$ для всех натуральных $i$ от 1 до $n-1$. Выясните, делится ли на 3 число $f(2007)$.

4. В стране есть 2007 городов, которые попарно соединены дорогами таким образом, что среди любых 16 городов проведено по крайней мере 15 дорог, то есть существует хотя бы 15 дорог с обоими концами среди этих 16 городов. Докажите, что для некоторого $3\leqslant k\leqslant 9$ найдется такая последовательность попарно разных городов $a_1, a_2, ..., a_k $, что для всех натуральных $i\leqslant k-1$ город $a_i$ соединен дорогой с городом $a_{i+1}$, а город $a_k$ соединен с $a_1$ (для разных вариантов соединения городов дорогами число $k$ может быть разным).

[neo66]

La|Verd писал(а):

1. Доказать, что для любого иррационального числа $a$ существуют такие иррациональные числа $b$ и $c$, что числа $a+b$ и $a\cdot c $ рациональны, а числа $a\cdot b $ и $a+c$ - иррациональны.

b= -a; или b = 1-a;
c= 1/a; или c = -1/a;

Добавлено спустя 26 минут 18 секунд:

La|Verd писал(а):

Могу предложить еще пару задач с Киевских отборов. Правда, за 9-й класс.
2. Точки K, M и N - середины сторон AB, CD и AD выпуклого четырехугольника ABCD соответственно; L - середина отрезка AN. Прямые AM, BN, CL и DK пересекаются в одной точке O. Докажите, что ломаная BOM делит четырехугольник на две равные по площади фигуры.

Сначала докажем, что:
OM:AO=3:1; OC:LO=4:1; OD:KO=2:1; OB:NO=2:1;
Остальное просто.

[Юстас]

La|Verd писал(а):

3. Пусть $a_1, a_2, ..., a_n $ - некая перестановка чисел 1, 2, ..., $n$. Обозначим через $f(n)$ количество таких перестановок, которые одновременно удовлетворяют условия: а) $a_1 = 1$, б) $|a_{i+1}-a_i|\leqslant 2$ для всех натуральных $i$ от 1 до $n-1$. Выясните, делится ли на 3 число $f(2007)$.

Для $n>4$ верна формула $f(n+1)=f(n)+1$. Чтобы её получить, достаточно рассмотреть случаи $f(2)=2$ и $f(2)=3$. Для $n=4\ f(n)=4$, поэтому $f(2007)=2007$.

[torbich]

Юстас писал(а):

La|Verd писал(а):

Для $n>4$ верна формула $f(n+1)=f(n)+1$. Чтобы её получить, достаточно рассмотреть случаи $f(2)=2$ и $f(2)=3$. Для $n=4\ f(n)=4$, поэтому $f(2007)=2007$.

Неправы Вы. А для 5-ти проверить? Легко получить, что $f(5)=6$. И вообще - читал много решений этой задачи, большинство решавших забывало про такие последовательности, как 13542.

Правильное решение - доказывается рекуррентная зависимость
$f(n)=f(n-1)+f(n-3)+1$
(благодаря следующему: возможны начала
12.... - 2 и далее - как раз и дает $f(n-1)$
1324.... - 4 и далее как раз и дает $f(n-3)$
и еще последовательность 1357...642 - дает +1.

После этого остается найти остатки от деления на 3 начальных членов - получается период 8, дальше очевидно.

[Юстас]

Да, 1324.... я забыл.

[dm]

Выкладываю полные тексты туров.

I тур (3.02.2007)

8 класс

1. В некотором году какое-то число не было ни разу воскресеньем.
Найти это число.

2. В острый угол с вершиной в точке $A$ вписана окружность,
касающаяся сторон угла в точках $B$, $C$. Доказать, что длина
произвольного отрезка, полностью расположенного внутри области,
ограниченной отрезками $AB$, $AC$ и меньшей дугой окружности $\smile BC$, не больше, чем $AB$.

3. Найти все двухцифровые натуральные числа $n$, такие, что сумма
цифр числа $10^n-n$ делится на 170.

4. Однажды железнодорожная станция продала 2007 билетов на 208
направлений. а) Доказать, что всегда найдутся 12 направлений, на
которые было продано одинаковое количество билетов. б) Всегда ли
найдутся 13 таких направлений?

9 класс

1. В остроугольном треугольнике $ABC$ проведена высота $CF$ и
медиана $BM$, и оказалось, что $CF=BM$ и $\angle MBC=\angle FCA$.
Доказать, что $AB=AC$.

2. Однажды железнодорожная станция продала 2007 билетов на 208
направлений. а) Доказать, что всегда найдутся 12 направлений, на
которые было продано одинаковое количество билетов. б) Всегда ли
найдутся 13 таких направлений?

3. Решить в натуральных числах $x$, $y$, $z$ уравнение:
$x!+y!+z!=x!y!$.

4. Приведите примеры треугольников, которые можно разбить: а) на 12
одинаковых треугольников; б) на 5 одинаковых треугольников.

10 класс

1. Пусть $a$, $b$, $c$~--- длины сторон некоторого треугольника.
Доказать неравенство:

$$2<\frac{a+b}{c}+\frac{b+c}{a}+\frac{c+a}{b}-\frac{a^3+b^3+c^3}{abc}\le3.$$

2. Решить в натуральных числах $x$, $y$, $z$ уравнение:
$x!+y!+z!=x!y!$.

3. Приведите примеры треугольников, которые можно разбить: а) на 12
одинаковых треугольников; б) на 5 одинаковых треугольников.

4. В Солнечной стране имеется 2007 городов, некоторые из них
соединены дорогами так, что каждые 2 города соединяет не более одной
дороги. Оказалось, что из каждого города выходит не менее 3 дорог.
Доказать, что существует $k\le16$ городов $A_1,\ldots,A_k$, таких,
что $A_1$ соединен дорогой с $A_2$, $A_2$ соединен с $A_3$, \ldots,
$A_{k-1}$~--- с $A_k$ и $A_k$~--- с $A_1$.

11 класс

1. а) Пусть $a$, $b$, $c$~--- действительные числа, для которых
$a+b+c=0$. Доказать, что: $a^3+b^3+c^3>0$ тогда и только тогда,
когда $a^5+b^5+c^5>0$. б) Пусть $a$, $b$, $c$, $d$~---
действительные числа, для которых $a+b+c+d=0$. Доказать, что:
$a^3+b^3+c^3+d^3>0$ тогда и только тогда, когда $a^5+b^5+c^5+d^5>0$.

2. $ABCD$~--- трапеция с основаниями $AB$ и $CD$, ее диагонали
пересекаются в точке $E$. Точка $X$~--- середина отрезка,
соединяющего ортоцентры треугольников $BEC$ и $AED$. Доказать, что
$X$ лежит на перпендикуляре, проведенном из точки $E$ на прямую
$AB$.

3. В Солнечной стране имеется 2007 городов, некоторые из них
соединены дорогами так, что каждые 2 города соединяет не более одной
дороги. Оказалось, что из каждого города выходит не менее 3 дорог.
Доказать, что существует $k\le16$ городов $A_1,\ldots,A_k$, таких,
что $A_1$ соединен дорогой с $A_2$, $A_2$ соединен с $A_3$, \ldots,
$A_{k-1}$~--- с $A_k$ и $A_k$~--- с $A_1$.

4. Назовем перестановку $\tau$ набора чисел $(1,2,\ldots,n)$
<<кубической>>, если $\tau(\tau(\tau(x)))=x$. Обозначим количество
подобных перестановок $a_n$. Доказать, что $a_{2007}$ делится нацело
на $3^{335}$.

[dm]

II тур (7.02.2007)

8 класс

1. $ABC$~--- остроугольный треугольник, в котором $\angle BAC>\angle BCA$. Пусть $D$~--- такая точка на стороне $AC$, что $\lvert AB\rvert =\lvert BD\rvert$. Далее, пусть точка $F$ на описанной
окружности треугольника $ABC$ такая, что прямая $FD$ перпендикулярна
стороне $BC$, причем точки $F$ и $B$ лежат по разные стороны от
прямой $AC$. Докажите, что прямая $FB$ перпендикулярна $AC$.

2. $\dfrac{x+y}{x-y}+\dfrac{x-y}{x+y}=2007$. Найти
$\dfrac{x^4+y^4}{x^4-y^4}+\dfrac{x^4-y^4}{x^4+y^4}$.

3. На доске записаны все правильные несократимые дроби со
знаменателями от 2 до 2007. Двое игроков по очереди ставят знаки
${+}$ или ${-}$ перед дробями (в произвольном порядке). Когда перед
всеми дробями стоят знаки, считается их сумма. Если она целая,
выигрывает тот, кто ходил последним, иначе~--- его оппонент. Кто
выигрывает при наилучшей игре обоих?

4. На летние каникулы 2007 года приехали отдыхать дети в лагерь.
Каждая девочка посмотрела влюбленным взглядом на каждого мальчика,
которого знала, а каждый мальчик влюбленным взглядом~--- на девочек,
которых не знает. Сколько было в лагере детей, если всего было
влюбленных взглядов 143, а детей~--- не более 40.

9 класс

1. По кругу некоторым образом расставили числа $1,2,3,\ldots,2006$.
Разрешается менять соседей местами. Через некоторое время все номера
оказались на позициях, диаметрально противоположных исходным.
Доказать, что хотя бы раз менялись числа, дающие в сумме 2007.

2. $ab+ac+bc\le 3ab$, $a,b,c>0$. Доказать, что $a^3+b^3+c^3\ge a+b+c$.

3. Дан равнобедренный треугольник $ABC$. Точка $D$ выбрана на
стороне $BC$ так, что $BD=2DC$, а точка $B$ на отрезке $AD$~--- так,
что $\angle BPD=\angle BAC$. Докажите, что $\angle BAC=2\,\angle DPC$.

4. Дана последовательность пронумерованных единичных квадратиков
бесконечной длины $1,2,3,\ldots$\,. Монетка находится на позиции 2.
Двое игроков по очереди двигают монетку вперед минимум на 1, но не
более, чем на 2007 позиций. Проигрывает тот, кто поставит монетку на
не простой номер. Кто выигрывает при правильной игре?

10 класс

1. В треугольнике $ABC$ на стороне $BC$ взята точка $X$. На отрезке
$AX$ взята точка $M$, и проведены прямые $BM$ и $CM$ до пересечения
со сторонами $AB$, $AC$. Пусть это точки $T$ и $P$. Из точки $X$ на
$TP$ опустили перпендикуляр. Найти геометрическое место точек~---
основ этих перпендикуляров.

2. Задана некоторая бесконечная монотонно возрастающая
последовательность чисел: $1=x_1<x_2<x_3<\ldots<x_n<\ldots$\,,
причем для всех натуральных $k$: $x_{k+1}\le 2k$. Доказать, что
каждое натуральное число $m$ представимо в виде $m=x_i-x_j$, где
$x_i$, $x_j$~--- некоторые члены последовательности.

3. Пусть $n$ больше 1 и $A_n$~--- количество непустых подмножеств
$C$ множества $1,2,3,\ldots,n$ со следующим свойством: среднее
арифметическое элементов $C$ является целым числом. Доказать, что
$A_n-n$ всегда четно.

4. На окружности имеются красные и синие точки. Разрешается добавить
красную точку и изменить цвет ее соседей или забрать красную точку и
изменить цвет бывших соседей. Пусть сначала было две красных точки
(менее двух точек оставлять не разрешается). Можно ли получить
разрешенными операциями две синие точки?

11 класс

1. Решите в натуральных числах уравнение $(1+n^k)^{\ell}=1+n^m$, где
$\ell>1$.

2. В треугольнике $ABC$ на стороне $BC$ взята точка $X$. На отрезке
$AX$ взята точка $M$, и проведены прямые $BM$ и $CM$ до пересечения
со сторонами $AB$, $AC$. Пусть это точки $T$ и $P$. Из точки $X$ на
$TP$ опустили перпендикуляр. Найти геометрическое место точек~---
основ этих перпендикуляров.

3. Найдите все $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$, такие, что
$f(x-y)-xf(x)\le1-x$ для всех действительных $x$ и $y$.

4. На окружности имеются красные и синие точки. Разрешается добавить
красную точку и изменить цвет ее соседей или забрать красную точку и
изменить цвет бывших соседей. Пусть сначала было две красных точки
(менее двух точек оставлять не разрешается). Можно ли получить
разрешенными операциями две синие точки?

[dm]

III тур (14.02.2007)

8 класс

1. Какие натуральные числа могут быть суммами цифр квадрата целого
числа?

2. Найти $x_1,\ldots,x_n\ge0$ из системы:

$$\left\{ \begin{aligned} x_1&{}=x_2^2-1,\\ x_2&{}=x_3^2-1,\\ \ldots &{}\ldots\ldots\ldots\\ x_n&{}=x_1^2-1. \end{aligned} \right.$$

3. В правильном 5000-угольнике закрасили 2001 вершину. Доказать, что
при этом найдутся три такие закрашенные вершины, которые являются
вершинами равнобедренного треугольника.

4. Решить уравнение: $1+2x+3x^2+4x^3+\ldots+2007x^{2006}=0$.

9 класс

1. Найти $x_1,\ldots,x_n\ge0$ из системы:

$$\left\{ \begin{aligned} x_1&{}=x_2^2-1,\\ x_2&{}=x_3^2-1,\\ \ldots &{}\ldots\ldots\ldots\\ x_n&{}=x_1^2-1. \end{aligned} \right.$$

2. О положительных числах $a$, $b$, $c$, $d$ известно, что
$a+b+c+d=1$. Доказать неравенство: $ab+bc+cd\le1/4$.

3. Решить уравнение: $1+2x+3x^2+4x^3+\ldots+2007x^{2006}=0$.

4. Доказать, что три разные прямые, каждая из которых проходит через
середину одной из сторон треугольника и разбивает этот треугольник
на два многоугольника одинакового периметра, пересекаются в одной
точке.

10 класс

1. Решить уравнение: $1+2x+3x^2+4x^3+\ldots+2007x^{2006}=0$.

2. Доказать, что три разные прямые, каждая из которых проходит через
середину одной из сторон треугольника и разбивает этот треугольник
на два многоугольника одинакового периметра, пересекаются в одной
точке.

3. Заданы $n$ различных множеств. Рассматриваются их попарные
пересечения и объединения. Доказать, что среди этих $n(n-1)$
полученных множеств найдутся хотя бы $n$ различных.

4. О положительных числах $a$, $b$, $c$, $d$ известно, что
$a^2+b^2+c^2+d^2=4$. Доказать неравенство:

$$\frac{a^3}{2003+2004bcd}+\frac{b^3}{2003+2004acd}+\frac{c^3}{2003+2004abd} +\frac{d^3}{2003+2004abc}\ge\frac{4}{2007}.$$

11 класс

1. Решите систему уравнений:

$$\left\{ \begin{aligned} \sqrt{x^2-2x+6}&{}\cdot\log_3(6-y)=x,\\ \sqrt{y^2-2y+6}&{}\cdot\log_3(6-z)=y,\\ \sqrt{z^2-2z+6}&{}\cdot\log_3(6-x)=z. \end{aligned} \right.$$

2. О положительных числах $a$, $b$, $c$, $d$ известно, что
$a^2+b^2+c^2+d^2=4$. Доказать неравенство:

$$\frac{a^3}{2003+2004bcd}+\frac{b^3}{2003+2004acd}+\frac{c^3}{2003+2004abd} +\frac{d^3}{2003+2004abc}\ge\frac{4}{2007}.$$

3. Заданы $n$ различных множеств. Рассматриваются их попарные
пересечения и объединения. Доказать, что среди этих $n(n-1)$
полученных множеств найдутся хотя бы $n$ различных.

4. В прямоугольном треугольнике $ABC$ с прямым углом $\angle C$
точка $M$~--- середина $BC$, $I$~--- центр вписанной окружности.
Пусть $P$~--- точка пересечения $IM$ и $AC$, $S$ и $R$~--- точки, в
которых вписанная в $\triangle ABC$ окружность касается сторон $AB$
и $AC$ соответственно. $Q$~--- точка пересечения $SR$ и $BC$,
$L$~--- середина $PQ$, точка $F$~--- проекция точки $C$ на $IM$.
Доказать, что точки $F$, $L$, $S$ лежат на одной прямой.

[dm]

IV тур (17.02.2007)

8 класс

1. В соревнованиях по настольному теннису приняли участие 2007
спортсменов. Каждые два спортсмена сыграли между собой ровно один
раз. Ничьих в теннисе не бывает. Первый игрок выиграл $x_1$ раз и
проиграл $y_1$ раз, второй~--- выиграл $x_2$ и проиграл $y_2$ игр и
т.\,д. Докажите, что $x_1^2 +...+x_{2007}^2 =y_1^2 +...+y_{2007}^2 $.

2. Пусть $ABCD$~--- выпуклый четырехугольник. Точки $E$ и $F$~---
середины сторон $AD$ и $BC$ соответственно. Отрезок $CE$ пересекает
$DF$ в точке $O$. Докажите, что если прямые $AO$ и $BO$ делят
сторону $CD$ на три равные части, то $ABCD$~--- параллелограмм.

3. Задан многочлен
$f(x)=x^n+a_1x^{n-1}+a_2x^{n-2}+\ldots+a_{n-1}x+a_n$ с целыми
коэффициентами и натуральные числа $k$ и $p$. Докажите, что если ни
одно из чисел $f(k),f(k+1),\ldots,f(k+p)$ не делится нацело на
$p+1$, то у уравнения $f(x)=0$ нет рациональных корней.

4. В стране имеется 2007 городов, попарно соединенных дорогами таким
образом, что среди любых 16 городов проведены по крайней мере 15
дорог, т.\,е. имеются хотя бы 15 дорог с обоими концами среди этих
16 городов. Докажите, что для некоторого $3\le k\le9$ найдется такая
последовательность попарно различных городов $a_1,a_2,,\ldots,a_k$,
что для всех натуральных $i\le k-1$ город $a_i$ соединен дорогой с
городом $a_{i+1}$, а город $a_k$ соединен с $a_1$ (для разных
вариантов соединения городов дорогами число $k$ может быть разным).

9 класс

1. Докажите, что для произвольного иррационального числа $a$
существуют такие иррациональные числа $b$ и $c$, что числа $a+b$ и
$a\cdot c$~--- рациональные, а числа $a\cdot b$ и $a+c$~---
иррациональные.

2. Точки $K$, $M$ и $N$~--- середины сторон $AB$, $CD$ и $AD$
выпуклого четырехугольника $ABCD$ соответственно, $L$~--- середина
отрезка $AN$. Прямые $AM$, $BN$, $CL$ и $DK$ пересекаются в одной
точке $O$. Докажите, что ломаная $BOM$ делит четырехугольник на две
равные по площади фигуры.

3. Пусть $a_1,a_2,\ldots,a_n$~--- некоторая перестановка чисел
$1,2,\ldots,n$. Обозначим через $f(n)$ количество таких
перестановок, которые удовлетворяют условиям: а)~$a_1=1$, б)~$\lvert a_{i+1}-a_i\rvert\le2$ для всех натуральных $i$ от $1$ до $n-1$.
Выясните, делится ли на $3$ число $f(2007)$.

4. В стране имеется 2007 городов, попарно соединенных дорогами таким
образом, что среди любых 16 городов проведены по крайней мере 15
дорог, т.\,е. имеются хотя бы 15 дорог с обоими концами среди этих
16 городов. Докажите, что для некоторого $3\le k\le9$ найдется такая
последовательность попарно различных городов $a_1,a_2,,\ldots,a_k$,
что для всех натуральных $i\le k-1$ город $a_i$ соединен дорогой с
городом $a_{i+1}$, а город $a_k$ соединен с $a_1$ (для разных
вариантов соединения городов дорогами число $k$ может быть разным).

10 класс

1. Докажите, что для произвольного иррационального числа $a$
существуют такие иррациональные числа $b$ и $c$, что числа $a+b$ и
$a\cdot c$~--- рациональные, а числа $a\cdot b$ и $a+c$~---
иррациональные.

2. Для положительных чисел $a,b,c$ выполняется соотношение
$21ab+2bc+8ca\le12$. Найдите минимальное значение выражения
$f=\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}$.

3. Треугольник $ABC$~--- остроугольный. $M$~--- середина стороны
$BC$, точка $P$ выбрана на стороне $AM$ таким образом, что $MB=MP$.
Точка $H$~--- основание перпендикуляра, опущенного из точки $P$ на
прямую $BC$. Из точки $H$ проводятся перпендикуляры к прямым $PB$ и
$PC$, пересекающие прямые $AB$ и $AC$ в точках $Q$ и $R$
соответственно. Докажите, что прямая $BC$ касается окружности,
описанной около треугольника $QHR$, в точке $H$.

4. Пусть $a_1,a_2,\ldots,a_n$~--- некоторая перестановка чисел
$1,2,\ldots,n$. Обозначим через $f(n)$ количество таких
перестановок, которые удовлетворяют условиям: а)~$a_1=1$, б)~$\lvert a_{i+1}-a_i\rvert\le2$ для всех натуральных $i$ от $1$ до $n-1$.
Выясните, делится ли на $3$ число $f(2007)$.

11 класс

1. $P(x)=2x^3-3x^2+2$. $A=\{P(n)\mathrel{|}n\in\mathbb{N},\ n\le2007\}$, $B=\{p^2+1\mathrel{|}p\in\mathbb{N}\}$,
$C=\{q^2+2\mathrel{|}q\in\mathbb{N}\}$. Сколько элементов содержат
множества $A\cap B$ и $A\cap C$?

2. Для положительных чисел $a,b,c$ выполняется соотношение
$21ab+2bc+8ca\le12$. Найдите минимальное значение выражения
$f=\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}$.

3. Треугольник $ABC$~--- остроугольный. $M$~--- середина стороны
$BC$, точка $P$ выбрана на стороне $AM$ таким образом, что $MB=MP$.
Точка $H$~--- основание перпендикуляра, опущенного из точки $P$ на
прямую $BC$. Из точки $H$ проводятся перпендикуляры к прямым $PB$ и
$PC$, пересекающие прямые $AB$ и $AC$ в точках $Q$ и $R$
соответственно. Докажите, что прямая $BC$ касается окружности,
описанной около треугольника $QHR$, в точке $H$.

4. Пусть $a_1,a_2,\ldots,a_n$~--- некоторая перестановка чисел
$1,2,\ldots,n$. Обозначим через $f(n)$ количество таких
перестановок, которые удовлетворяют условиям: а)~$a_1=1$, б)~$\lvert a_{i+1}-a_i\rvert\le2$ для всех натуральных $i$ от $1$ до $n-1$.
Выясните, делится ли на $3$ число $f(2007)$.