Киевские отборы на Всеукраинскую олимпиаду 2007

[Trius]

в последних двух моих постах - задачи третьего тура для 10-класников

[Хорхе]

Мне для восьмиклассников нужно

[neo66]

Trius писал(а):

1):) решить уравнение $1+2x+3x^2+4x^3+....+2007x^{2006}=0$

Нет у него действительных корней.

[Trius]

вот уравнение по-моему и у восьмикласников было

[worm2]

Trius писал(а):

2) из середины каждой стороны треугольника проведены прямые, которые делят труегольник на две части с одинаковым периметром. Доказать что эти прямые пересекаются в одной точке.

Самое простое (правда, нестрогое) рассуждение --- о том, что каждая прямая должна пройти через центр тяжести границы треугольника.

[La|Verd]

Trius писал(а):

1):) решить уравнение $1+2x+3x^2+4x^3+....+2007x^{2006}=0$
2) из середины каждой стороны треугольника проведены прямые, которые делят труегольник на две части с одинаковым периметром. Доказать что эти прямые пересекаются в одной точке.
3)Задано n различных множеств. Рассматриваются их попарные пересечения и объединения. Доказать что среди этих $n(n-1)$ множеств найдется хотя бы $n$ различных.

1 и 2 решаются достаточно просто. В первом надо только знать формулу суммы геометрической прогрессии. Во втором эти прямые являются биссектрисами треугольника $M_1M_2M_3$.

[Trius]

Цитата:

Во втором эти прямые являются биссектрисами треугольника $M_1M_2M_3$

а как это доказывается?

[neo66]

Trius писал(а):

Цитата:

Во втором эти прямые являются биссектрисами треугольника $M_1M_2M_3$

а как это доказывается?

Подсказываю: элементарно .

[La|Verd]

Trius писал(а):

Цитата:

Во втором эти прямые являются биссектрисами треугольника $M_1M_2M_3$

а как это доказывается?

Можно через теорему Архимеда, можно просто через теорему Фалеса и свойство биссектрисы.

[neo66]

worm2 писал(а):

Trius писал(а):

2) из середины каждой стороны треугольника проведены прямые, которые делят труегольник на две части с одинаковым периметром. Доказать что эти прямые пересекаются в одной точке.

Самое простое (правда, нестрогое) рассуждение --- о том, что каждая прямая должна пройти через центр тяжести границы треугольника.

Это, вообще говоря, неверное утверждение. Не каждая прямая, проходящая через центр тяжести границы треугольника, делит его периметр пополам.

Однако, ирония заключается в том, что наши прямые 'таки через него проходят.

[Руст]

neo66 писал(а):

worm2 писал(а):

Trius писал(а):

2) из середины каждой стороны треугольника проведены прямые, которые делят труегольник на две части с одинаковым периметром. Доказать что эти прямые пересекаются в одной точке.

Самое простое (правда, нестрогое) рассуждение --- о том, что каждая прямая должна пройти через центр тяжести границы треугольника.

Это, вообще говоря, неверное утверждение. Не каждая прямая, проходящая через центр тяжести границы треугольника, делит его периметр пополам.

Однако, ирония заключается в том, что наши прямые 'таки через него проходят.

Ребята, центр тяжести находится на пересечении медиан. Если треугольник не равносторонний, то хотя бы одна из прямых не совпадает с медианой, а значит не проходит через центр тяжести, находящийся на медиане.

[worm2]

Руст писал(а):

Ребята, центр тяжести находится на пересечении медиан. Если треугольник не равносторонний, то хотя бы одна из прямых не совпадает с медианой, а значит не проходит через центр тяжести, находящийся на медиане.

Имеется в виду центр тяжести не треугольника, а границы (проволочного остова) треугольника.

[neo66]

Вот именно. А центр тяжести границы треугольника - это, как ни странно, точка пересечения биссектрисс треугольника M_1M_2M_3.

[Батороев]

La|Verd писал(а):

Trius писал(а):

1):) решить уравнение $1+2x+3x^2+4x^3+....+2007x^{2006}=0$
2) из середины каждой стороны треугольника проведены прямые, которые делят труегольник на две части с одинаковым периметром. Доказать что эти прямые пересекаются в одной точке.
3)Задано n различных множеств. Рассматриваются их попарные пересечения и объединения. Доказать что среди этих $n(n-1)$ множеств найдется хотя бы $n$ различных.

1 и 2 решаются достаточно просто. В первом надо только знать формулу суммы геометрической прогрессии. Во втором эти прямые являются биссектрисами треугольника $M_1M_2M_3$.

Вообще - не факт, что эти прямые "пойдут" в вершину треугольника

[worm2]

Батороев:

Просто кое-кто не уточнил, что M1, M2, M3 --- это совсем не вершины исходного треугольника, а вовсе даже середины его сторон (про которые говорится в условии).

Добавлено спустя 4 минуты 55 секунд:

Я тоже не сакцентировал внимание на границе. Исправляюся.