Киевские отборы на Всеукраинскую олимпиаду 2007

[Trius]

1) В треуголньике ABC на стороне BC взяли точку Х. На отрезке AX взяли точку M и прямые BM и CM провели до пересечения с AB и АC.Пусть это точки T и P. Найти ГМТ оснований перпендикуляров опущенных из точки Х на TP.

2) пусть n больше 1 и $A_{n}$ количество непустых подмножеств С множества 1,2,3....n. При этом исполняется еще одно условие - среднее арифметическое элементов С - целое число. Доказать что $A_{n}-n$ четное

[RIP]

2) Если множество $C=\{a_1,a_2,\ldots,a_k\}$ удовлетворяет условию, то и множество $C'=\{n+1-a_1,n+1-a_2,\ldots,n+1-a_k\}$ тоже. Если $n$ чётно, то всегда $C\ne C'$, поэтому $A_n$ чётно.
Пусть $n$ нечетно. Надо доказать, что кол-во таких $C$, что $C=C'$, нечетно. Будем называть такие $C$ плохими. Если $k=2m+1$, то $a_{m+1}=\frac{a_1+a_2+\ldots+a_k}k=\frac{n+1}2$, поэтому множество $C\setminus\{a_{m+1}\}$ при $m>0$ плохое. Это дает биекцию между плохими множествами с нечетным кол-вом елементов, кроме множества $\{\frac{n+1}2\}$, и плохими множествами с четным кол-вом элементов.

[Trius]

3) Задано бесконечную возрастающую последовательность $x_n$,причем $x_1=1$ и для любого натурального k $x_{k+1} \leqslant 2k$.Доказать что любое натуральное число представимо в виде разности каких-то двух членов последовательности
4) На окружности есть красные и синие точки. Разрешено добавить красную точку и поменять цвет ее соседей или забрать красную и поменять цвет бывших соседей. Сначало было 2 красные точки(менше двух точек оставлять нельзя). Можна ли такими операциями получить 2 синие точки?

[RIP]

3) Пусть $n\in\mathbb{N}$ любое. Рассмотрим числа $1=x_1<x_2<\ldots<x_{n+1}\leqslant2n$. Среди них какие-то 2 дают одинаковые остатки при делении на $n$, но их разность не превышает $2n-1<2n$.

[Trius]

а остальные кто-то пробовал?

[Trius]

решить $x!+y!+z!=x!y!$

[worm2]

Trius писал(а):

решить $x!+y!+z!=x!y!$

Ну, это сравнительно просто. Сначала отсекается случай $x \ne y$. Затем показывается, что $1 \le z-x \le 2$, и перебором находятся все решения для случаев z-x=2 (нет решений) и z-x=1 (одно решение). Писанины только много.

[Trius]

да, это довольно простая задача

Добавлено спустя 1 час 17 минут 7 секунд:

$\frac{x+y}{x-y}+\frac{x-y}{x+y}=2007$, найти $\frac{x^4+y^4}{x^4-y^4}+\frac{x^4-y^4}{x^4+y^4}$

Добавлено спустя 4 минуты 42 секунды:

На доске записаны все правильные несократимые дроби со знаменателями от 2 до 2007. Двое игроков по очереди ставят + или - перед дробями. Когда перед всеми дробями поставлены знаки, считается их сума, если она целая, то выигрывает тот, кто ходил последним, иначе - его опонент. Кто победит при лучшей игре обоих?

Добавлено спустя 5 минут 16 секунд:

решить в натуральных числах : $(1+n^k)^l=1+n^m, l>1$

найти все $f:R\to R$, такие что $f(x-y)-xf(x)\leq 1-x$ для всех $x,y$

[Руст]

Trius писал(а):

1.$\frac{x+y}{x-y}+\frac{x-y}{x+y}=2007$, найти $\frac{x^4+y^4}{x^4-y^4}+\frac{x^4-y^4}{x^4+y^4}$

2. На доске записаны все правильные несократимые дроби со знаменателями от 2 до 2007. Двое игроков по очереди ставят + или - перед дробями. Когда перед всеми дробями поставлены знаки, считается их сума, если она целая, то выигрывает тот, кто ходил последним, иначе - его опонент. Кто победит при лучшей игре обоих?

3. Решить в натуральных числах : $(1+n^k)^l=1+n^m, l>1$

4. Найти все $f:R\to R$, такие что $f(x-y)-xf(x)\leq 1-x$ для всех $x,y$

1. Пусть t=x/y, тогда $t^2=\frac{a+2}{a-2},a=2007$, соответственно искомая величина есть $2\frac{(a+2)^4+(a-2)^4}{(a+2)^4-(a-2)^4$. Можно выразить решение через тригонометрию.
2. Первый. Может начать с любого знака перед 1/2. На любое проставление знака перед k/n ставит такой же знак перед (n-k)/n, если n отлично от четырёх, в противном случае (n=4) - противоположный.
3. l=n=2,k=1,m=3
4. y=0 даёт f(x)(1-x)<=(1-x). Следовательно при x<1 f(x)<=1, при x>1 f(x)>=1 Взяв y<x-1 и y>x-1 получим, что f(x)=1 тождественно.

[Trius]

Руст
как вы 3-ю делали?

[Руст]

Пусть n>1,l>1.
Раскрываете скобки и устанавливаете, что l делится на n. Даже в этом случае если p максимальный простой делитель l, то следующие члены делятся на большую степень p, за исключением случая l=2. Соответственно (при l=2) раскрывая скобки получаем $n^{m-1}=n+2$, что даёт n=2, m=3.

[Trius]

пусть $a,b,c,d>0$ и $a^2+b^2+c^2+d^2=4$. Доказать, что $\frac{a^3}{2003+2004bcd}+\frac{b^3}{2003+2004acd}+\frac{c^3}{2003+2004bad}+\frac{d^3}{2003+2004abc}\geq \frac{4}{4007}$

[Руст]

Trius писал(а):

пусть $a,b,c,d>0$ и $a^2+b^2+c^2+d^2=4$. Доказать, что $\frac{a^3}{2003+2004bcd}+\frac{b^3}{2003+2004acd}+\frac{c^3}{2003+2004bad}+\frac{d^3}{2003+2004abc}\geq \frac{4}{4007}$

Умножая члены последовательно на a,b,c,d и учитывая, что abcd<=1 получаем:
$\sum_{sym}\frac{a^3}{2003+2004bcd}\ge \sum_{sym} \frac{a^4}{2003a+2004}\ge \frac{4}{4007}.$
Последнее получается из выпуклости функции
$\frac{x^2}{2003\sqrt x +2004}$ при 0<x<4.

[Trius]

1):) решить уравнение $1+2x+3x^2+4x^3+....+2007x^{2006}=0$
2) из середины каждой стороны треугольника проведены прямые, которые делят труегольник на две части с одинаковым периметром. Доказать что эти прямые пересекаются в одной точке.
3)Задано n различных множеств. Рассматриваются их попарные пересечения и объединения. Доказать что среди этих $n(n-1)$ множеств найдется хотя бы $n$ различных.

[Хорхе]

Кто бы поделился задачами 3-го тура? У меня завтра кружок, а никого не знаю, кто там был.