Открытое множество в R^3, задаваемое неравенством

[Dosaev]

Является ли множество $E_1 = {x_1^2 + x_2 ^2 - x_3^3 < 0}$ открытым в $R^3$?

Это множество есть внутренность конуса. Мы должны взять произвольную точку М, принадлежащую этому множеству, и доказать что найдется $\varepsilon > 0$: $U_{\varepsilon}(M) \subset E_1$. Вот я никак не могу найти такое эпсилон. Его можно взять например как половина расстояния от точки М до образующей конуса, лежащей в одной плоскости с М. Ну проблема в том, что найти уравнение этой образующей никак не получается. Помогите пожалуйста с этим эпсилон.

[ИСН]

Как правило, во всех задачах такого рода искать эпсилон "не надо". Также неважно, цилиндр у нас там, параболоид, или бычий рог. Важно только одно: $\le$ или $<$.

[Joker_vD]

Вы хотите честно это сделать? А то есть такой читерский трюк: если $f(\vec x)$ — непрерывная в $\mathbb R^n$ функция, то $f(\vec x)<0$ задает открытую область: раз $f$ непрерывна, то $f_i$ тоже непрерывны, и каждая из них сохраняет знак в некоторой окрестности...

Если честно — представьте этот конус. Рассеките его плоскостью $x_3=z_M$, в этой плоскости постройте маленькую окружность с центром в $M$, дополните ее до шара — ну и все.

[мат-ламер]

Dosaev
Можете что-нибудь сказать о прообразе открытого множества при непрерывном отображении? Если ничего, то не обращайте на это сообщение никакого внимания.

[Dosaev]

Joker_vD в сообщении #540343 писал(а):

Если честно — представьте этот конус. Рассеките его плоскостью $x_3=z_M$, в этой плоскости постройте маленькую окружность с центром в $M$, дополните ее до шара — ну и все.

Хм, интересно. Ну допустим мы доказали, что все точки круга содержатся в конусе, а как перейти к шару? почему именно в шаре также все точки будут содержатся в конусе?

-- Вс фев 19, 2012 00:07:10 --

мат-ламер в сообщении #540346 писал(а):

Dosaev
Можете что-нибудь сказать о прообразе открытого множества при непрерывном отображении? Если ничего, то не обращайте на это сообщение никакого внимания.

Нет, к сожалению.

[PAV]

Здесь нужно доказывать чисто аналитически, используя непрерывность функций. Сдвиньтесь по каждой координате на чуть-чуть, затем покажите, что приращение значения функции будет непрерывно зависеть от этого чуть-чуть, и поэтому может быть сделано сколь угодно малым, а потому до нуля не дотянет.

[Dosaev]

PAV, если я правильно вас понял, то нужно сделать следующее?
$F(x_1, x_2, x_3) = x_1^2 + x_2^2 - x_3^2;$
$F(x_1 + \Delta x_1, x_2 + \Delta x_2, x_3 + \Delta x_3) = (x_1 + \Delta x_1)^2 + (x_2 + \Delta x_2)^2 - (x_3 + \Delta x_3)^2 = x_1^2 + x_2^2 - x_3^2 + 2x_1\Delta x_1 + 2x_2\Delta x_2 - 2x_3\Delta x_3 + \Delta x_1^2 + \Delta x_2 ^2 - \Delta x_3^2 = F(x_1, x_2, x_3) + 2x_1\Delta x_1 + 2x_2\Delta x_2 - 2x_3\Delta x_3 + \Delta x_1^2 + \Delta x_2 ^2 - \Delta x_3^2$
$F(x_1 + \Delta x_1, x_2 + \Delta x_2, x_3 + \Delta x_3) - F(x_1, x_2, x_3) = 2x_1\Delta x_1 + 2x_2\Delta x_2 - 2x_3\Delta x_3 + \Delta x_1^2 + \Delta x_2 ^2 - \Delta x_3^2$
При $\Delta x_1, \Delta x_2, \Delta x_3 \to 0 \Rightarrow F \to 0$. Значит F непрерывна?

[alcoholist]

Dosaev в сообщении #540395 писал(а):

если я правильно вас понял

не надо каждый раз придумывать велосипед заново

функция $f(x)=x$ непрерывна

произведение непрерывных функций -- непрерывная функция

сумма непрерывных функций -- непрерывная функция

[Dosaev]

Ну хорошо, непрерывность этой функции я понял. Но следует ли отсюда, что множество определения этой функции является открытым? Почему мы доказываем непрерывность?

-- Вс фев 19, 2012 11:03:40 --

аа, может для того чтобы применить теорему о сохранении знака?

[mihailm]

эпсилон вроде меньше
$1/2\, \left( \left| x_{{3}} \right| -\sqrt {{x_{{1}}}^{2}+{x_{{2}}}^{ 2}} \right) \sqrt {2}$
если отвечать на вопрос поставленный ТС

(Оффтоп)

Хотя то что оно открытое это и ежу понятно)))

[Joker_vD]

Dosaev
Если есть $M(x_M,y_M,z_M)$ такая, что $f(M)=x_M^2+y_M^2-z_M^2<0$, то раз $f$ непрерывна, существует окрестность $U_\varepsilon(M)$ такая, что $\forall P\in U_\varepsilon(M)\; f(P)<0$.

[Dosaev]

Спасибо всем!

[svv]

Dosaev, вдогонку:

Dosaev писал(а):

Его можно взять например как половина расстояния от точки М до образующей конуса, лежащей в одной плоскости с М.

И произнести такие слова будет вполне достаточно, явно же находить ничего не надо.