Метрические пр-ва, сепарабельность. Что считать решением?

[JMH]

Цитата:

В несепарабельном метрическом пространстве найдётся такое несчётное подмножество $N$, что для некоторого $\theta>0$ для всех $x,y\in N$, $x\neq y$, выполнено неравенство $d(x,y)\geq\theta$.

Достаточно ли просто привести пример? Тогда можно взять множество действительных чисел с дискретной топологией на нём и вопрос исчерпан. Или нужно доказать, что для любого метрического пространства, такое $N$ существует? Если да, то как это сделать?
Заранее большое спасибо.

[Хорхе]

Думаю, надо все-таки доказать, что для любого.

Оно понятно, как делать.
0) Предположить противное.
1) Для каждого $\theta>0$ взять максимальное (по включению) $\theta$-разделенное множество. Предлагаю Вам самостоятельно подумать, почему оно существует.
2) Используя множества из пункта 1), построить счетное всюду плотное множество.

[мат-ламер]

Является ли множество действительных чисел с дискретной топологией метрическим пространством?

[Хорхе]

Ай, ну это мелкие придирки. Вместо слов "с дискретной топологией" следует читать "с дискретной метрикой".

[alcoholist]

мат-ламер в сообщении #540091 писал(а):

Является ли множество действительных чисел с дискретной топологией метрическим пространством?

метризуемым - да

[мат-ламер]

(Оффтоп)

alcoholist в сообщении #540244 писал(а):

метризуемым - да

Извиняюсь, спросил полнейшую тривиальность.

[JMH]

мат-ламер,
разумеется, Хорхе прав, я имел ввиду дискретную метрику, но я с Вами согласен, нужно следить за языком. Учту.

0) Итак, пусть указанного несчётного множества не существует.
1) Из теоремы Хаусдорфа: "Всякая цепь частично упорядоченного множества содержится в некоторой максимальной цепи" (эквивалентной аксиоме выбора) следует, что для каждого $\theta>0$ существует максимальное по включению $\theta$-разделенное множество.
2) Возьмём объединание множеств из 1). Оно а) состоит из максимальных цепей и поэтому пересекает окрестность любой точки нашего пространства, а следовательно всюду плотно; б) конечно или счётно по предположению. Последнее противоречит несепарабельности пространства.

Так корректно?

[Хорхе]

Корректно, но не совсем. Этак у Вас множества счетные, но вот количество их нет. Впрочем, это легко исправить.

[JMH]

В условии задачи сказано "для некоторого $\theta>0$", может, воспользовавшись этим, объявить $\theta$ рациональным? Тогда колличество множеств тоже будет счётным...

[Хорхе]

Ну да. Если найдется положительное $\theta$ с данным свойством, то найдется, очевидно, и рациональное.