Склеенный шестиугольник (топология)

[INGELRII]

Вопрос вроде примитивный, но сам разобраться не могу. В ходе исследования нескольких задач столкнулся с таким объектом: пусть есть шестиугольник $abcdef$. Мы соединяем его противоположные грани, $ab - ed, bc - fe, cd - af$. Получаем некое двумерное многообразие. Проблема в том, что я не могу разобраться, что же это такое. Эйлерова характеристика получается $0$. Это все, что я про него могу умного сказать.

-- 15.02.2012, 12:46 --

А, и еще оно ориентируемое. То есть единственный кандидат - это тор. Но как сие может быть тором, тоже понять не могу.

[Someone]

По-моему, крендель.

[alcoholist]

разумеется, это тор

разрез довольно простой -- взять две точки на торе и соединить их тремя отрезками чтобы в дополнении была клетка

нулевая кривизна видна невооруженным глазом -- в каждой вершине сходятся 3 угла по $2\pi/3$

[INGELRII]

Ладно, дома куплю бублик и посмотрю. А то что-то воображение подводит. И на бумаге ерунда выходит.

(Оффтоп)

Someone
Крендель - это сфера с $n$ ручками, где $n$ зависит от фантазии хлебопека?

[Someone]

alcoholist прав.

INGELRII в сообщении #538922 писал(а):

А то что-то воображение подводит. И на бумаге ерунда выходит.

Пусть тор лежит перед Вами на столе. Одну точку возьмите сверху, другую - прямо под первой снизу. Два разреза проведите поперёк тора от одной точки до другой (чтобы получилась окружность, охватывающая тор. Третий разрез проведите вдоль тора, переходя с верхней стороны на нижнюю.

(Оффтоп)

INGELRII в сообщении #538922 писал(а):

Крендель - это сфера с $n$ ручками, где $n$ зависит от фантазии хлебопека?

Имелся в виду с двумя ручками. Но он склеивается из восьмиугольника.

[Yu_K]

INGELRII в сообщении #538853 писал(а):

Вопрос вроде примитивный, но сам разобраться не могу. В ходе исследования нескольких задач столкнулся с таким объектом: пусть есть шестиугольник $abcdef$. Мы соединяем его противоположные грани, $ab - ed, bc - fe, cd - af$.

А если так?

$ab - ed, bc - af, cd - fe$

[svv]

Так ещё торее.
Хотя есть и интересные склейки, которые дают бутылку Клейна, например: $ab - ed, bc - ef, cd - fa$

[INGELRII]

Оба случая можно упростить, выкинув по две вершины. У Yu_K $bcd$ - фактически одна сторона $bd$, что верно и для $afe$. У svv склеиваются стороны $bcd$ и $efa$. То есть это сводится к четырехугольнику. А все способы склейки четырехугольника нам уже известны.

Более интересны случаи, когда никакие две подряд идущие стороны не склеиваются с другими двумя подряд идущими сторонами.

(Оффтоп)

Хотя лично я пришел к этой задаче совсем с другой стороны. Я пытался построить на плоскости один граф, и убедился, что это невозможно. Стал думать, на какой же поверхности его можно построить, и пришел к выводу, что на упомянутом в стартовом посте шестиугольнике он как раз помещается без самопересечений. То есть на торе.

[alcoholist]

INGELRII в сообщении #539445 писал(а):

Я пытался построить на плоскости один граф, и убедился, что это невозможно

по теореме Куратовского такой граф должен содержать либо $K_5$ либо $K_{3,3}$ (необходимое и достаточное условие непланарности)

[Munin]

(Оффтоп)

Как соотносятся число подграфов типа $K_5$ и $K_{3,3},$ и число ручек, которое надо приклеить к сфере, чтобы этот граф изобразить?

[arseniiv]

(Оффтоп)

Рискну предположить, что по ручке на каждый. По крайней мере, это верхняя оценка должна быть.

[INGELRII]

alcoholist в сообщении #539471 писал(а):

по теореме Куратовского такой граф должен содержать либо $K_5$ либо $K_{3,3}$ (необходимое и достаточное условие непланарности)

Вот, именно так я и рассуждал. Нашел один подграф $K_{3,3}$.

(Оффтоп)

По поводу соотношения количества подграфов и ручек - имхо, гиблая задача. С одной стороны, при любом количестве $n$ этих подграфов можно построить такой граф, что меньшим числом ручек, чем $n$, не обойтись.

С другой стороны, на торе, где ручка всего одна, можно построить прямоугольную сетку с большим количеством вершин. И там таких подграфов будет легион.

То есть количество необходимых ручек может лежать в диапазоне от $1$ до $n$, и это все, что тут можно сказать.

Может, надо учитывать, что подграфы между собой пересекаются, содержат общие ребра... Да ну. Муторно это как-то.

[alcoholist]

arseniiv в сообщении #539520 писал(а):

Рискну предположить, что по ручке на каждый. По крайней мере, это верхняя оценка должна быть.

если уж один вложили, то вложите и еще 10 без добавления ручек, если они не сателлитную структуру образуют

вообще, минимальный род поверхности, в которую можно вложить граф называется родом графа


известна нижняя оценка

$$ E/6-V/2+1 $$