Ферматики, я вижу что ВТФ для тройки у вас не заладился. Но ВТФ для тройки можно очень упростить. Надо доказать, что уравнение
Поэтому предлагаю всем ферматикам в начале доказать такой упрощенный ВТФ для тройки своими методами. Неферматикам тоже есть над чем подумать
Лучше записать так
где естественно положить все числа натуральными. Так как
, то из формулы
Получаем
Сделав замену
, получаем диофантово уравнение
Таким образом следующие утверждения эквивалентны: 1) уравнение
, где все числа натуральные, не имеет решений; 2) уравнение
не имеет решений, за исключением
,
. Я утверждаю обе эти задачи эквивалентны 3) уравнение
не имеет решений для всех
, т.е общему случаю ВТФ для тройки. Задача ВТФ для тройки упрощена до умопомрачительной простоты, а сложность от этого не уменьшилась.
Дополнение.Рассмотрим тщательнее уравнение
Ясно, что
нечетно. Пусть
. Также ясно, что могут быть только два случая:
, либо
.
1-ый случай: , тогда
и
, откуда
Следовательно, уравнение
в случае
эквивалентно уравнению
2-ой случай: , тогда
и
, откуда
Следовательно, уравнение
в случае
эквивалентно уравнению
Таким образом разрешимость уравнения
в целых числах эквивалентна разрешимости в целых числах аж 2-ух уравнений
и
Можно конечно пробовать использовать Лемму Эйлера о параметрических решениях уравнения
. Но от этого не становится легче. Хотя есть соображения, которые я изложу. Но с наскоку не получается. Жаль, что я не умею доказывать в духе ферматиков, но каждому свое
Лемма Эйлера. Все решения уравнения
где
, диофантова уравнения
задаются формулами
Доказательство леммы Эйлера с использованием факториальности излагается в [Постников , стр. 34-50], [Эдвардс , стр. 71-73], однако изложение требует десятка страниц, поэтому его нельзя назвать элементарным. В [Рибенбойм , стр. 40-44] можно найти одновременное применение факториальности алгебраических колец и квадратичных вычетов, но доказательства от этого не стало короче. Доказательства с применением квадратичных вычетов даны в [Andreescu T., Andrica D., стр. 87-93] и [Sierpinski , стр. 384-387], но и их нельзя назвать элементарными.
1. Andreescu T., Andrica D. An Introduction to Diophantine Equations, GIL, Publishing House, 2003
2. Sierpinski W. Elementary Theory of Numbers, PNW, Warszawa; North Holland, Amsterdam, 1987
3. Мачис Ю.Ю. О предполагаемом доказательстве Эйлера, Матем. заметки, 82:3 (2007), 395–400
4. Постников М. М. Теорема Ферма. Введение в теорию алгебраических чисел. Москва, Наука, 1978.
5. Рибенбойм П. Последняя теорема Ферма для любителей. Москва Мир, 2003
6. Эдвардс Г. Теорема Ферма. Генетическое введение в алгебраическую теорию чисел. Москва. Мир, 1980
, где t - естественно натуральное число, - не облегчает ли это доказательство?..