x^3+y^3+z^3=k

[Cash]

Заинтересовало упомянутое у Серпинского в О решении уравнений в целых числах уравнение
$x^3+y^3+z^3=k$

В частности,
1) есть ли при $k=3$ целочисленные решения, кроме $(1,1,1)$ и $(4,4,-5)$
2) разрешимо ли уравнение $x^3+y^3+z^3=30$ в целых числах

Главное здесь соображение - остатки по модулю $63 = 7 \cdot 9$
Это позволяет существенно сократить перебор.
Далее, сравнение по каждому простому модулю вида $3k+1$
позволяет отсеять примерно $2/3$ пар $(x, y)$
Данные соображения позволяют в разумный срок (порядка часа на селероне) прошерстить все пары $(x, y)$ до $10^6$.
Хотелось бы довести результат до $2^{32}$.

Есть ли еще какие-то идеи, позволяющие сократить перебор?
Например, будет ли перспективна такая идея:
создаем решето из порядка $20$ простых вида $3k+1$ и не просеиваем, а по заданному $x$ "конструируем" $y$? Насколько затратно данное "конструирование" и даст ли прибавку по сравнению с обычным просеиванием?
В известных мне очень быстрых алгоритмах подобных поисков (например, алгоритм Роберта Гербица для поиска решений $x^4+y^4+z^4 = t^4$ http://robert.gerbicz.googlepages.com) применяется все-таки просеивание.

Ну и интересует, конечно, общемировые успехи в данном направлении: доказана конечность/бесконечность решений для данных $k$, диапазон проверенных значений и пр.

[reg81]

Если k - тоже куб , то задача решена. См. в Википедии на странице "Задача о четырех кубах"

[Cash]

reg81, спасибо. Бесконечные серии решений $k=1, k=2, k=t^2, k=t^3$ описаны у Серпинского. Интересуют прежде всего случаи, $k=3$ и $k=30$

-- Вт фев 14, 2012 15:10:06 --

Впрочем, от знания как выходить на подобные серии тоже не откажусь, если это не очень сложно

[Sonic86]

Есть книга Манина Кубические формы: алгебра, геометрия, арифметика тут: http://lib.mexmat.ru/books/1213
Я ее правда не читал, но, по идее, если уж это уравнение как-то пилить, но не лобзиком, то нужно начинать с чего-то подобного.
Может, конечно, есть чего попроще
Ручками можно попытаться поискать параметрические серии решений.

[Cash]

(Оффтоп)

Sonic86, мне кажется в вас пропадает талант Великого Инквизитора

Цитата:

Ручками можно попытаться поискать параметрические серии решений

Для полного счастья мне достаточно найти хотя бы одно.

[reg81]

Для случая $x^3+y^3+z^3=3 $ конечно же только два решения:
-5, 4, 4 и 1, 1, 1
Для $x^3+y^3+z^3=30 $ решений, пожалуй, нет.

[Cash]

reg81 в сообщении #538600 писал(а):

Для случая $x^3+y^3+z^3=3 $ конечно же только два решения:
-5, 4, 4 и 1, 1, 1
Для $x^3+y^3+z^3=30 $ решений, пожалуй, нет.

Смущает ваше конечно же
Это строго доказанный факт? Притом достаточно очевидный?

[reg81]

Для чисел, по модулю до 500 - факт абсолютный. При бОльших значениях вероятность такого тождества тает.

[Cash]

Я проверил до миллиона. Но это ни о чем не говорит. Опять таки не стоит забывать и о примере, опровергающем гипотезу Эйлера.

[Cash]

Нашел статью полностью описывающую состояние этой проблемы на сегодняшний день (точнее на 2007 год).
http://www.uni-math.gwdg.de/tschinkel/gauss/Elkies.pdf, чуть подробнее здесь http://www.uni-math.gwdg.de/jahnel/Hab.pdf
Что весьма любопытно, лидер в решении данной проблемы, в частности, нашедший в 2000 г. следующее равенство

$$2220422932^3-283059965^3 -2218888517^3=30$$

автор лучшего на сегодняшний день метода поиска решений: Ноам Элкис - тот самый, кому первому удалось построить в 1988 г. контрпример к гипотезе Эйлера:
$2682440^4 + 15365639^4 + 18796760^4 = 20615673^4$

-- Вт фев 21, 2012 14:02:21 --

(Еще один любопытный факт)

Ноам Элкис занял 4-е абсолютное место на ММО 1982. А абсолютный результат на той олимпиаде показал ... Григорий Перельман