Заинтересовало упомянутое у Серпинского в
О решении уравнений в целых числах уравнение

В частности,
1) есть ли при

целочисленные решения, кроме

и

2) разрешимо ли уравнение

в целых числах
Главное здесь соображение - остатки по модулю

Это позволяет существенно сократить перебор.
Далее, сравнение по каждому простому модулю вида

позволяет отсеять примерно

пар

Данные соображения позволяют в разумный срок (порядка часа на селероне) прошерстить все пары

до

.
Хотелось бы довести результат до

.
Есть ли еще какие-то идеи, позволяющие сократить перебор?
Например, будет ли перспективна такая идея:
создаем решето из порядка

простых вида

и не просеиваем, а по заданному

"конструируем"

? Насколько затратно данное "конструирование" и даст ли прибавку по сравнению с обычным просеиванием?
В известных мне очень быстрых алгоритмах подобных поисков (например, алгоритм Роберта Гербица для поиска решений
http://robert.gerbicz.googlepages.com) применяется все-таки просеивание.
Ну и интересует, конечно, общемировые успехи в данном направлении: доказана конечность/бесконечность решений для данных

, диапазон проверенных значений и пр.