Когда мы найдём общее решение, нам захочется исследовать это решение, и найти условия, при которых колебания будут происходить только с частотой основной гармоники или только с частотой второй, чётной гармоники. Нам проще поступить по-другому. Мы попробуем сразу угадать такие начальные условия движения, при которых колебания совершаются только с частотой основной гармоники.
Сейчас мы отвлечёмся от поступательного движения всей системы, и будем рассматривать только колебания системы в ИСО, связанной с ц.м. всей системы.
Не знаю, для кого как, а для меня, очевидно, что колебания с основной гармоникой будут происходить, если оттянуть крайние шары на некоторое расстояние, успокоить, а затем одновременно их отпустить.
В этом случае средний шар тоже будет оставаться всегда неподвижен, и мы приходим к системе с двумя шарами и двумя пружинками, из которых одна закреплена неподвижно. В этом случае мы должны оттянуть свободный шар, а затем отпустить.
Итак, дифференциальные уравнения.
Начальная энергия будет определяться потенциальной энергией двух растянутых пружин. Очевидно, что энергии этих пружин (так же как и их растяжения) будут равны, т.к. мы успокоили систему, прежде чем отпустить шарики.
Проведём вдоль стержня ось ОХ системы координат с началом в месте крепления пружины (и горизонтального стержня). Координату первого от начала шарика обозначим

- второго

. Деформации пружин обозначим

и

. Напишем условия динамического равновесия первого и второго шариков.

Вспомним:

- деформация пружины,

- её жесткость.
Выразим координаты шариков через длину

и деформацию пружин.

Подставим вместо

их значения через

, обозначим

, получим:

Это и есть дифференциальные уравнения движения шариков для случая, когда средний шарик неподвижен.