Маятник Ньютона

[anik]

Когда мы найдём общее решение, нам захочется исследовать это решение, и найти условия, при которых колебания будут происходить только с частотой основной гармоники или только с частотой второй, чётной гармоники. Нам проще поступить по-другому. Мы попробуем сразу угадать такие начальные условия движения, при которых колебания совершаются только с частотой основной гармоники.
Сейчас мы отвлечёмся от поступательного движения всей системы, и будем рассматривать только колебания системы в ИСО, связанной с ц.м. всей системы.
Не знаю, для кого как, а для меня, очевидно, что колебания с основной гармоникой будут происходить, если оттянуть крайние шары на некоторое расстояние, успокоить, а затем одновременно их отпустить.
В этом случае средний шар тоже будет оставаться всегда неподвижен, и мы приходим к системе с двумя шарами и двумя пружинками, из которых одна закреплена неподвижно. В этом случае мы должны оттянуть свободный шар, а затем отпустить.
Итак, дифференциальные уравнения.
Начальная энергия будет определяться потенциальной энергией двух растянутых пружин. Очевидно, что энергии этих пружин (так же как и их растяжения) будут равны, т.к. мы успокоили систему, прежде чем отпустить шарики.
Проведём вдоль стержня ось ОХ системы координат с началом в месте крепления пружины (и горизонтального стержня). Координату первого от начала шарика обозначим $x_1$ - второго $x_2$. Деформации пружин обозначим $\Delta_1$ и $\Delta_2$. Напишем условия динамического равновесия первого и второго шариков.

$$ \begin{cases} m\ddot{x}_1=k(\Delta_1-\Delta_2)\\ m\ddot{x}_2=k\Delta_2 \end{cases} $$

Вспомним: $\Delta$ - деформация пружины, $k$ - её жесткость.
Выразим координаты шариков через длину $L$ и деформацию пружин.

$$ \begin{cases} x_1=L+\Delta_1\\ x_2=2L+\Delta_1+\Delta_2 \end{cases} $$

Подставим вместо $\Delta$ их значения через $x$, обозначим $m/k=c$, получим:

$$ \begin{cases} c\ddot{x}_1=x_2+2L\\ c\ddot{x}_2=-(x_1+x_2+L) \end{cases} $$

Это и есть дифференциальные уравнения движения шариков для случая, когда средний шарик неподвижен.

[ivanhabalin]

anik
Так Вы считаете, что центральные шарики можно заменить эквивалентной массой любого количества шариков вне зависимости от формы и результат будет неизменным? А это значит с одной стороны рельса стукнет шарик, а с другой стороны шарик получит импульс движения одинаковый?

[anik]

ivanhabalin в сообщении #538490 писал(а):

А это значит с одной стороны рельса стукнет шарик, а с другой стороны шарик получит импульс движения одинаковый?

Да, я так считаю. Это если ударяющий шарик и отскакивающий шарик одинаковы. Естественно, ещё, что масса шарика должна быть в некоторой степени сравнима с массой рельсы. Если рельс с массой 200кг, а шарик 2 грамма, то такая энергия скорее развеется в рельсе.

-- Вт фев 14, 2012 13:58:41 --

Если же шарик имеет скорость пули, то всё равно большая часть энергии уйдет на необратимые деформации, т.к. они выдут за предел пропорциональности. Закон Гука уже не будет соблюдаться. А упругий шарик может разлететься на осколки.

-- Вт фев 14, 2012 14:05:01 --

Любопытен следующий факт: стальной шарик от шарикоподшипника сжимался с большими усилиями на прессе. Затем он освобождался. Так вот, были случаи, когда этот шарик неожиданно раскалывался сам (через некоторое время, будучи уже освобождённым), причём, осколки могли причинить травму.

[Munin]

anik в сообщении #538496 писал(а):

Да, я так считаю. Это если ударяющий шарик и отскакивающий шарик одинаковы. Естественно, ещё, что масса шарика должна быть в некоторой степени сравнима с массой рельсы. Если рельс с массой 200кг, а шарик 2 грамма, то такая энергия скорее развеется в рельсе.

Маятник Ньютона наглядно показывает, что вы заблуждаетесь. Удивительно, как вы продолжаете пороть эту чушь именно в теме про маятник Ньютона.

[anik]

Munin в сообщении #538517 писал(а):

Маятник Ньютона наглядно показывает, что вы заблуждаетесь.

Вы опять не подкрепили свои возражения аргументами. В чём же я заблуждаюсь? В том, что суммарная масса десяти шариков в ряду сравнима с массой одного шарика, или в том, что ударит один шарик, и отскочит один? Или в том, что если заменить ряд промежуточных шариков на упругий стержень с такой же массой, то эффект с крайними шариками останется таким же?
Почему я должен угадывать Ваши мысли и подразумевания? Или главное сказать: не-а?

-- Вт фев 14, 2012 16:25:56 --

Munin в сообщении #538517 писал(а):

Удивительно, как вы продолжаете пороть эту чушь именно в теме про маятник Ньютона.

Я просто отвечал на вопрос, который задал ivanhabalin.

[Munin]

anik в сообщении #538532 писал(а):

Вы опять не подкрепили свои возражения аргументами. В чём же я заблуждаюсь?

В том, что

anik в сообщении #538496 писал(а):

масса шарика должна быть в некоторой степени сравнима с массой рельсы

anik в сообщении #538532 писал(а):

Почему я должен угадывать Ваши мысли и подразумевания?

Вы не должны, разумеется. Единственное, что вы должны, это заткнуться и сесть за учебники.

[anik]

Munin в сообщении #538517 писал(а):

anik в сообщении #538496 писал(а):

Да, я так считаю. Это если ударяющий шарик и отскакивающий шарик одинаковы. Естественно, ещё, что масса шарика должна быть в некоторой степени сравнима с массой рельсы. Если рельс с массой 200кг, а шарик 2 грамма, то такая энергия скорее развеется в рельсе.

Маятник Ньютона наглядно показывает, что вы заблуждаетесь. Удивительно, как вы продолжаете пороть эту чушь именно в теме про маятник Ньютона.

Munin в сообщении #538650 писал(а):

anik в сообщении #538532 писал(а):
Вы опять не подкрепили свои возражения аргументами. В чём же я заблуждаюсь?
В том, что
anik в сообщении #538496 писал(а):
масса шарика должна быть в некоторой степени сравнима с массой
рельсы

Вы считаете, что если подвешенный шарик с массой 2 грамма стукнет по рельсе, то с другой стороны рельса такой же шарик отскочит?
Теоретически это так, если рельс считать абсолютно упругим, а практически этого не будет.
Вот если масса шарика равна, скажем, 5 кг (например, кувалда), то можно надеяться, что волна упругой деформации от удара добежит до второго края рельса, и второй шарик с массой 5 кг отскочит от его торца.
По-видимому, здесь не я заблуждаюсь, а Вы.

-- Ср фев 15, 2012 12:24:50 --

Munin в сообщении #538650 писал(а):

anik в сообщении #538532 писал(а):

Почему я должен угадывать Ваши мысли и подразумевания?

Вы не должны, разумеется. Единственное, что вы должны, это заткнуться и сесть за учебники.

Учебниками я не брезгую, а "затыкаться" не собираюсь.

[Munin]

anik в сообщении #538799 писал(а):

Вы считаете, что если подвешенный шарик с массой 2 грамма стукнет по рельсе, то с другой стороны рельса такой же шарик отскочит?Теоретически это так, если рельс считать абсолютно упругим, а практически этого не будет.

А практически вы этот опыт делали? Или пишете "практически этого не будет", вытащив ответ из носа? Опыты как раз показывают, что будет.

anik в сообщении #538799 писал(а):

По-видимому, здесь не я заблуждаюсь, а Вы.

По-видимому, вы вконец обхамели, навязывая природе свои фантазии под соусом "по-видимому".

anik в сообщении #538799 писал(а):

Учебниками я не брезгую, а "затыкаться" не собираюсь.

Тогда, надеюсь, вас заткнёт модератор.

[anik]

Munin в сообщении #538884 писал(а):

А практически вы этот опыт делали? Или пишете "практически этого не будет", вытащив ответ из носа? Опыты как раз показывают, что будет.

А Вы практически этот опыт делали? Или пишете "практически это будет", вытащив ответ из носа?
Это у Вас расхожая фраза: "Опыты как раз показывают, что будет"?
Вы знаете, что рельс не закалён, довольно пластичен и гнется? Вы наблюдали как изогнуты рельсы для поворотов на трамвайных путях? Попробуйте так согнуть закалённый стержень. Поэтому, рельс недостаточно упруг, чтобы передать ту мизерную волну деформации от двухграммового шарика на всю длину. В действительности, ударяющий шарик практически сразу отскочит от торца рельса, а удалённый шарик даже не шелохнётся.

[ivanhabalin]

anik А можно как то математически?

[Munin]

anik в сообщении #538891 писал(а):

А Вы практически этот опыт делали?

Да. И даже маятник Ньютона - как раз практический опыт для ответа на этот вопрос.

(Там есть тонкость, но знать про неё вам не обязательно. Да и не поймёте, на вашем уровне и с вашим отношением к знаниям.)

anik в сообщении #538891 писал(а):

Вы знаете, что рельс не закалён, довольно пластичен и гнется?

Я знаю, что это не имеет ни малейшего отношения к задаче.

anik в сообщении #538891 писал(а):

Поэтому, рельс недостаточно упруг, чтобы передать ту мизерную волну деформации от двухграммового шарика на всю длину.

Если бы вы не мели языком, а считали, то не произносили бы ошибочных "поэтому".

anik в сообщении #538891 писал(а):

В действительности, ударяющий шарик практически сразу отскочит от торца рельса, а удалённый шарик даже не шелохнётся.

Либо ссылку на видео, либо я зову модератора. Будет ссылка - я объясню, где вы соврали.

[anik]

ivanhabalin в сообщении #538900 писал(а):

anik А можно как то математически?

Сейчас я решаю задачу о движении пяти шариков, связанных пружинками.
По поводу удара шарика, посмотрите здесь: http://dxdy.ru/topic7751.html?hilit=%D0%BA%D0%BE%D1%8D%D1%84%D1%84%D0%B8%D1%86%D0%B8%D0%B5%D0%BD%D1%82%20%D0%B2%D0%BE%D1%81%D1%81%D1%82%D0%B0%D0%BD%D0%BE%D0%B2%D0%BB%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D1%8F

[ivanhabalin]

anik Спасибо.

[anik]

Munin в сообщении #538911 писал(а):

Либо ссылку на видео, либо я зову модератора.

Ссылка на видео быстро не делается, нужно поставить эксперимент и заснять его. "либо я зову модератора" (а то я маме скажу), Вы что меня боитесь?

-- Ср фев 15, 2012 19:04:48 --

anik в сообщении #538485 писал(а):

Подставим вместо $\Delta$ их значения через $x$, обозначим $m/k=c$, получим:

$$ \begin{cases} c\ddot{x}_1=x_2+2L\\ c\ddot{x}_2=-(x_1+x_2+L) \end{cases} $$

Это и есть дифференциальные уравнения движения шариков для случая, когда средний шарик неподвижен.

Здесь ошибка! (Неправильно подставил).
Дифференциальные уравнения должны быть такими:

$$ \begin{cases} c\ddot{x}_1=2x_1-x_2\\ c\ddot{x}_2=x_2-x_1-L \end{cases} $$

По-видимому, не существует общего алгоритма поиска решений систем дифференциальных уравнений. В той, или иной степени, эти решения приходится подбирать или угадывать. В нашем случае мы угадаем, что решение должно быть в виде синфазных колебаний с одинаковой частотой и начальной фазой, причём, первый шарик будет колебаться вокруг устойчивого положения, смещённого по оси $OX$ от нуля на величину $L$. Центр колебаний второго шарика будет смещён на величину $2L$. Исходя из этого, решения будем искать в виде:

$$ \begin{cases} x_1=L+A_1\sin(\omega t+\varphi)\\ x_2=2L+A_2\sin(\omega t+\varphi) \end{cases} $$

Продифференцируем дважды эти функции, получим:

$$ \begin{cases} \ddot{x}_1=-A_1\omega^2\sin(\omega t+\varphi)\\ \ddot{x}_2=-A_2\omega^2\sin(\omega t+\varphi) \end{cases} $$

и подставим их в дифференциальное уравнения, мы должны получить тождество, если правильно угадали. После подстановки и преобразований, получим:

$$ \begin{cases} cA_1\omega^2=A_2-2A_1\\ cA_2\omega^2=A_1-A_2 \end{cases} $$

Перепишем эту систему в таком виде:

$$ \begin{cases} (c\omega^2+2)A_1-A_2=0\\ -A_1+(c\omega^2+1)A_2=0 \end{cases} $$

Эта однородная система будет иметь множество решений если её определитель $\Delta$ равен нулю.

$$ \Delta= \begin{vmatrix} (c\omega^2)&-1\\ -1&(c\omega^2+1) \end{vmatrix} =0 $$

Приравнивая этот определитель нулю, решая получившееся квадратное уравнение, учитывая, что $c=k/m$, получим два значения для частоты $\omega$

$$\omega_{1,2}=\sqrt{\frac{k(3\pm\sqrt5)}{2m}}$$

[Munin]

ivanhabalin в сообщении #538919 писал(а):

anik Спасибо.

И снова вы благодарите за медвежью услугу. Меня передёргивает каждый раз.

anik в сообщении #538921 писал(а):

"либо я зову модератора" (а то я маме скажу), Вы что меня боитесь?

Нет, вы мне надоели, а ваше поведение омерзительно. Это всё в сфере компетенции модераторов.

anik в сообщении #538921 писал(а):

По-видимому, не существует общего алгоритма поиска решений систем дифференциальных уравнений.

Для уравнений такого типа - существует. Это линейные уравнения, а в континуальном пределе - гиперболические. Эти типы уравнений очень хорошо изучены, и их решения перечислены во всех элементарных учебниках.

anik в сообщении #538921 писал(а):

В нашем случае мы угадаем, что решение должно быть в виде синфазных колебаний с одинаковой частотой и начальной фазой

Это ошибка. В общем случае решение имеет вид суперпозиции многих колебаний, каждое из которых имеет для разных шариков разные начальные фазы. Взяв решение указанного вами вида, вы берёте только узкий частный случай, что приведёт вас к неверным выводам.