Функции нескольких переменных, непрерывность

[samuil]

ИСН в сообщении #538199 писал(а):

Это возвращает нас к вопросу о том, что же такое дифференцируемость.

Согласно определению - если для любой точки области определения функции $f(x,y)$ выполняется равенство$f(x,y)= o\Big(\sqrt{x^2+ y^2}\Big)$, то функция дифференцируема. Вопрос в том - выполняется ли оно?

-- 13.02.2012, 15:10 --

Пусть $x^2+y^2\ne 0$. Тогда должно выполняться

$(x^2+y^2)\sin\big(\frac{1}{x^2+y^2}\big) = o\Big(\sqrt{x^2+ y^2}\Big)$

По-моему это равенство не может выполняться для всех $(x,y)$. Так?

[bot]

Вот кол, на колу мочало

samuil в сообщении #538092 писал(а):

Теперь, используя определение дифференцируемой функции, получаем, что

$f(x,y)= o(\sqrt{x^2+ y^2)$

Что бы это могло значить для нашей задачи?

Это было о чём?

-- Пн фев 13, 2012 18:13:41 --

А что такое o-малое?

[ИСН]

samuil в сообщении #538201 писал(а):

Согласно определению - если для любой точки области определения функции $f(x,y)$ выполняется равенство$f(x,y)= o\Big(\sqrt{x^2+ y^2}\Big)$, то функция дифференцируема.

Вы точно хотели сказать именно это?

[samuil]

bot в сообщении #538204 писал(а):

Это было о чём?

Да, так как в общем случае:

Если для любой точки области определения функции $f(x,y)$ выполняется равенство

$f(x,y)=f(x_0,y_0) + \left. \frac{\partial f}{\partial x}\right|_{(x_0,y_0)}(x-x_0) + \left. \frac{\partial f}{\partial y}\right|_{(x_0,y_0)}(y-y_0)+ o(\sqrt{(x-x_0)^2+ (y-y_0)^2})$

Для нашей функции $0=x_0=y_0= \left. \frac{\partial f}{\partial x}\right|_{(x_0,y_0)}=\left. \frac{\partial f}{\partial y}\right|_{(x_0,y_0)}=0$

Поэтому $f(x,y)= o\Big(\sqrt{x^2+ y^2}\Big)$

-- 13.02.2012, 18:57 --

ИСН в сообщении #538207 писал(а):

Вы точно хотели сказать именно это?

Определение из Википедии:

Согласно общему определению функция
$f\colon M\subset R^2 \mapsto R$
двух переменных $x, y$ является дифференцируемой в точке $(x_0,y_0)$ своей области определения $M$, если существуют такие константы $a, b$ и $c$, что для любой точки $(x,y)$ области $M$ верно
$f(x,y)=a + b(x-x_0) + c(y-y_0)+o(\sqrt{(x-x_0)^2+ (y-y_0)^2})$;
при этом число $a$ неизбежно равно значению функции в точке $(x_0,y_0)$, а числа $b$ и $c$ являются частными производными функции в той же точке, то есть

$f(x,y)=f(x_0,y_0) + \left. \frac{\partial f}{\partial x}\right|_{(x_0,y_0)}(x-x_0) + \left. \frac{\partial f}{\partial y}\right|_{(x_0,y_0)}(y-y_0)+ o(\sqrt{(x-x_0)^2+ (y-y_0)^2})$.

-- 13.02.2012, 19:01 --

bot в сообщении #538204 писал(а):

А что такое o-малое?

$f$ является «о» малым от $g$ при $x\to x_0$, если для любого $\varepsilon>0$ найдется такая проколотая окрестность $U_{x_0}$ точки $x_0$, что для всех $x\in U_{x_0}$ имеет место неравенство

$|f(x)| \leqslant \varepsilon |g(x)|$

[bot]

То есть осталось проверить равенство $f(x,y)=o\left(\sqrt{x^2+y^2}\right)$. Не знаю, как Вы это станете проверять, если Вы ну у-о-очень своеобразно его понимаете. Вот скажем возьмём точку (1;1) - в ней равенство выполняется?

[samuil]

bot в сообщении #538283 писал(а):

То есть осталось проверить равенство $f(x,y)=o\left(\sqrt{x^2+y^2}\right)$. Не знаю, как Вы это станете проверять, если Вы ну у-о-очень своеобразно его понимаете. Вот скажем возьмём точку (1;1) - в ней равенство выполняется?

$f(x,y)=\begin{cases} (x^2+y^2)\sin\big(\frac{1}{x^2+y^2}\big) & ,\text{ если }\; x^2+y^2\ne 0 \\ 0& ,\text{ если }\; x^2+y^2=0\\ \end{cases}$

Для $(1;1)$

$\sin 0,5=o(\sqrt 2)$

$\sin 0,5\approx 0,48$

Если взять $\varepsilon=0,01$, то $|f(x)| \leqslant \varepsilon |g(x)|$ не выполняется.

Значит функция не является дифференцируемой?

-- 13.02.2012, 19:13 --

Меня жутко смущает условие, так как там написано:

Цитата:

Показать, что частные производные первого порядка, которые разрывны в точке $(0;0)$ и неограниченны в любой ее окрестности, но тем не менее, функция дифференцируема в этой точке $(0;0)$

Получилось, что частные производные непрерывны, а функция не является дифференцируемой.

[ИСН]

samuil, Вы базовые понятия (конкретно - про о-малое) прикладываете не тем концом. Так нельзя.

[alcoholist]

samuil в сообщении #538286 писал(а):

$\sin 0,5=o(\sqrt 2)$

поэтому

$$ \lim_{{2}\to 0}\frac{\sin{2^{-1}}}{{2}^{1/2}}=0 $$

[samuil]

ИСН в сообщении #538304 писал(а):

samuil, Вы базовые понятия (конкретно - про о-малое) прикладываете не тем концом. Так нельзя.

А как можно? Можно так?

поэтому $ \lim\limits_{{x,y}\to 1}\frac{(x^2+y^2)\sin{\frac{1}{x^2+y^2}}}{\sqrt{x^2+y^2}}=\dfrac{2\sin 0,5}{\sqrt 2}\ne 0 $

Поэтому в точке $(1,1)$ нарушается то равенство.

В чем я был не прав, скажите, пжлста.

-- 13.02.2012, 21:40 --

alcoholist в сообщении #538306 писал(а):

поэтому

$$ \lim_{{2}\to 0}\frac{\sin{2^{-1}}}{{2}^{1/2}}=0 $$

Простите за то, что пишу из ряда вон выходящее, да путаюсь с этим определением, вот хочу разобраться - как его применять...

[ИСН]

Это Ваше выражение не имеет не только смысла, но и левой ноги. Вы берёте выражение для точки (0,0) и подставляете в него точку (1,1). Зачем?

[samuil]

ИСН в сообщении #538343 писал(а):

Это Ваше выражение не имеет не только смысла, но и левой ноги. Вы берёте выражение для точки (0,0) и подставляете в него точку (1,1). Зачем?

Спасибо. Кажется я понял. $f(x,y)=o\left(\sqrt{x^2+y^2}\right)$ при $x\to 0$ и $y\to 0$

$\lim\limits_{x,y\to 0}\frac{(x^2+y^2)\sin{\frac{1}{x^2+y^2}}}{\sqrt{x^2+y^2}}=0$

Так как предел равен нулю, то равенство имеет смысл $f(x,y)=o\left(\sqrt{x^2+y^2}\right)$ при $x\to 0$ и $y\to 0$, поэтому функция является дифференцируемой в точке $(0;0)$

Теперь правильно? А почему тут написано про разрывность частных производных в условии (у нас они получились равными нулю)?

Цитата:

Показать, что частные производные первого порядка, которые разрывны в точке $(0;0)$ и неограниченны в любой ее окрестности,...

[ИСН]

Я принёс Вам какую-то функцию в мешке. Её значение в 1 равно 1. Непрерывна ли она?

[samuil]

ИСН в сообщении #538359 писал(а):

Я принёс Вам какую-то функцию в мешке. Её значение в 1 равно 1. Непрерывна ли она?

Неизвестно. Но мы проверяли непрерывность частных производных именно в точке $(0;0)$. И получилось $f'_x(0;0)=0$ и $f'_y(0;0)=0$
Аааа. Я кажется понял

Для $x^2+y^2\ne 0$

$f'_x=2x\sin\big(\frac{1}{x^2+y^2}\big)-\cos\big(\frac{1}{x^2+y^2}\big)\cdot \dfrac{2x}{x^2+y^2}$


$f'_x(0+0,0)=-\infty$

$f'(0;0)=0$

$f'_x(0-0;0)=+\infty$

Для $y$ - аналогично.

Поэтому частные производные в нуле терпят разрыв. Правильно?

[ИСН]

С конкретными значениями пределов не согласен, а с выводом - да.

[samuil]

ИСН в сообщении #538374 писал(а):

С конкретными значениями пределов не согласен, а с выводом - да.

Да, спасибо, я думал, что успею исправить, пока вы не увидите. Но не успел. Да, я со знаками напутал. Спасибо, все понял!