Я за время своего негуманитарного образования получил другое впечатление, которое меня удивило своей необщеизвестностью: что любое образование рамки не ставит, а снимает. Особенно мощно это происходит с физикой и математикой. Ну по принципу, из школы все выходят с рамками, что таблица умножения - это а на общей алгебре оказывается, что какую захотим таблицу умножения, такую и можем взять - просто у нас в результате получится группа, полугруппа или ещё что похуже.
Ой, только пожалуйста не надо столь категорично.
Наука, не имеющая внутренних рамок - это уже не наука, а бессмысленная трепотня. Рамки всегда есть. И забавно бывает иногда наблюдать, как студенты, после пары расширений дозволенных рамок вообще их теоряют и начинают считать науку какой-то непостижимой разновидностью магии. Воспринимая научные утверждения как набор "умных" слов, причём утверждение тем качественнее, чем больше слов накидаешь в общую кучу.
Такие радикальные случаи редки, но встречаются. К сожалению. В-частности, у меня есть друг, у которого когда во время учёбы на физфаке просто башня не вывезла. Он долго варил всё в себе, потом не выдержал и пошёл вешаться на фонаре. С фонаря менты его сняли, отправили в дурку, диагноз - какая-то там шизофрения. Сейчас он живёт с мамой, у него инвалидность и пособие... и ещё он раза два в год, во время обострений, бомбардирует по емэйлу десятками страниц шизофренического бреда, всерьёз воспринимая своё творчество как научную деятельность. Мне его очень жалко, но на письма отвечать нельзя, это я уже выяснил. Провоцирует...
Можно привести пример и менее радикального случая. Логическая ошибка, время от времени возникающая у студентов при изучении теории множеств. Я им каждый раз говорю "нельзя так делать", "табу" и они обычно начинает чувствовать, что рамки после расширения по большому счёту никуда не делись. И интуитивно легко нащупывается, хотя объяснить словами, где именно они теперь расположены, вызывает некоторые затруднения.
Короче, фишка такая. Проводим семинар на тему "мощность множества". Сначала даю определение континуума в стиле "множество называется континуальным, если оно равномощно действительной прямой..." Затем, поговорив ещё много о чём, рассказываю про континуум-гипотезу. Ну типа, из аксиом теории множеств нельзя ни доказать, ни опровергнуть существование мощности, строго меньшей континуума, но более чем счётной. Вы пока конкретную аксиоматику теории множеств не проходили, полный список аксиом вам напишут лишь в следующем семестре. Но пока запомните, что такой список аксиом есть, он называется ZFC и вроде как принято считать, что рассуждение является математически корректным (то есть является математическим доказательством) в том и только в том случае, если можно привести соответствующий ему вывод из аксиом ZFC в одной из формальных логических систем, предварительно дав аккуратную формулировку доказываемого утверждения на языке теории множеств. Другими словами, большинство математиков согласилось считать, что существование мощности между счётной и континуальной нельзя ни доказать, ни опровергнуть. Существует ли такая мощность на самом деле?.. трудный вопрос, поскольку в первую очередь приходится уточнять понятие существования. Некоторые математики полагают, что вопрос не имеет смысла, однако есть и такие, которые считают иначе. Пока смотрите на ситуацию так: возможно, промежуточная мощность существует, а возможно и нет, мы не знает и, самое удивительное, умудрились доказать, что никогда так и не узнаем
После такого семинара на дом даётся задача: доказать, что множество всех подмножеств натурального ряда континуально.
То есть студентам предлагается дома сесть и, подумав, найти бекцию между подмножествами
и действительной прямой. Биекцию искать трудно, и вот в одной из светлых студенческих голов рождается такой неожиданный выверт. Они говорят. Во-первых, множество всех подмножеств
несчётно (это достаточно очевидно и легко доказывается). Во-вторых, этих подмножеств не больше континуума (тоже довольно простой факт). Ну а теперь... Раз мы не можем логически опровергнуть континуум-гипотезу, то мы можем её принять и это не приведёт нас к противоречию. Так давайте примем. Получаем, что множество несчётное, не более чем континуальное, а раз континуум-гипотеза говорит, что промежуточных мощностей нет, то его мощностьь ровно континуум! И смотрят на меня с хитрым видом.
И вот как тут объяснить, что несмотря на то, что принятие континуум-гипотезы никогда не приведёт к абсурдному выводу, дозволенные рамки всё равно нарушены. Ибо рассуждать так, как только что было рассуждено, нельзя. Помогает такой довод:
Хорошо, если мы признаем континуум-гипотезу истинной, то к противоречию это нас не приведёт. Но при этом признание её ложной тоже не даёт никаких противоречий. Тогда чем обусловлен ваш выбор, когда вы начинаете считать гипотезу именно истинной, а не ложной. Тем, что это удобно для решения данной задачи. Ну хорошо, мы в математике на самом деле часто руководствуемся соображениями удобства. Но тут... Ладно, допустим в этой задаче удобно считать гипотезу истинной. И мы её считаем истинной. А в другой задаче будет удобно считать её ложной, и мы сочтём её ложной. А потом кто-то сформулирует нам третью задачу, и в ней утверждение, которое потребуется доказать, будет простым следствием утверждений первой и второй задач. С одной стороны, мы вроде как решили обе задачи и вправе опираться на них при решении третий. Но при решении первой задачи мы считаем континуум-гипотезу истинной, при решении второй ложной, а при решении третьей, которая следует из первых двух - какой? И истинной и ложной одновременно, так что ли? Вам не кажется, что здесь какой-то подвох? Если мы сочтём гипотезу и истинной, и ложной одновременно, то тогда уж точно придём к противоречию, не так ли?! Увы, но фокус не удался!
Потом разбираем "правильное" решение, говорим о математике с КГ и математике без КГ, иногда даже привожу примеры утверждений, которые формулируются КГ-независимо, но которые удалось доказать лишь в предположении истинности КГ. В-общем, мир становится несколько богаче, чем казался ранее. Рамки стали устроены хитрее, но они никуда не делись. И в настоящей науке рамки будут всегда. Ибо когда их нет, любой бред становится научным, а сама наука перестаёт быть чем-то ценным.
На самом деле... не знаете, насколько Вы подкованы в истории математики. Но вот есть прям очень наглядный пример "меняющихся" рамок - это спор Ньютона и Лейбница о существовании бесконечно малых.
Известно, что матан начинается с пределов. И вот случилось так, что два отца-основателя матана подошли к осмыслению этого понятия с двух разных точек зрения. Спорное утверждение состояло в том, существуют ли бесконечно малые действительные числа, то есть такие числа, которые строго больше нуля и меньше любого рационального числа. Испокон веков считалось, что такие числа немыслимы, и, действительно, геометрическая интуиция их существованию противится. Сколь маленький отрезок мы бы не выбрали, всегда можно поделить единичный отрезок на достаточно большое число равных частей так, эти части окажутся меньше нашего исходного маленького. Короче, делением единичного отрезка на целое число чистей можно получить отрезок, длина которого меньше любой наперёд заданной, надо лишь количество частей достаточно большим взять.
А в пределах фигурируют бесконечно малые приращения. По крайней мере, что Ньютон, что Лейбниц мыслят себе производную как отношение приращения функции к приращению аргумента при бесконечно малом приращении аргумента. Лейбниц, как человек честный, начинает утверждать, что бесконечно малые числа реально существуют (выводя их существование из своей путаной монадологии), а геометрическая интуиция нас обманывает. Ньютон решает напустить туману; с одной стороны, он однозначно заявляет, что конечно же бесконечно малых нет и быть не может, ибо они просто немыслимы; с другой стороны, заводит речь о каких-то флюксиях, которые вообще непонятно чё... по крайней мере, я когда-то так и не понял, что Ньютон понимал под флюксиями. Может я сейчас, конечно, и не прав, но на мой взгляд Ньютон повёл себя как хитрец, которому нечего сказать по существу, но который пытается убедить невежественную аудиторию в своей правоте, произнося как можно больше умных и непонятных слов. Вместе с тем несмотря на отсутствие чётких логических понятий интуиция у Ньютона работает отлично, и он с её помощью успешно развивает матан, нигде не допуская ляпов и не впадая в ересь.
Ну и вот, короче, спор Ньютона и Лейбница: существуют бесконечно малые величины или нет. В матане, который становится частью математики, они фактически используются, однако сами по себе признаются чем-то немыслимым. В математике возникает явное логическое противоречие, сводя на нет весь её метод и обесценивая как точную науку. Это называется второй кризис оснований математики, он длится чёрт знает сколько лет и заканчивается лишь тогда, когда Коши и Веерштрасс изобретают современную теорию пределов, позволяющую логически безупречно доказывать матанавские утверждения, вообще не используя никаких бесконечно малых величин.
После столь великого открытия в споре о бесконечно малых все конечно же начинают считать, что Ньютон был прав, а Лейбниц нет. Проходит ещё столетие. Методы Коши и Вейерштрасса приводят к очередному кризису оснований, третьему по счёту. Кризис пытаются преодолевать с разных сторон, тщательно анализируя понятие доказательство. Вследствии чего появляется современная теория моделей, а среди её следствий - утверждение о том, что существование бесконечно малых не способно привести к противоречию. Появляется нестандартный анализ, в котором бесконечно малые фигурируют, методы работы с ними должны быть достаточно аккуратны, но в конечном счёте о них спокойно можно говорить и для любой "нормальной" функции её производная действительно равна отношению бесконечно малых приращений. Ньютон посрамлён, Лейбниц торжествует! Те самые рамки, внутри которых дозволено мыслить, в третий раз разворачиваются, меняя своё текущее положение на "противоположное".
А далее... в XX веке разные видные математики начинают высказывать мнение, что каждая область этой науки требует не только специфических аксиом, но и специфической логики рассуждений. Что кое-где уместно отказаться от закона исключённого третьего, да и ещё от кое-чего. В рамках классической логики начинают исследовать неклассические. Да и вообще просходит куча всего интересного...
Вот. А вы говорите, всегда происходит расширение рамок. На самом деле с этими рамками порой случаются очень причудливые трансформации. Если замереть на математике XVIII и XIX веков, то там да, эти рамки неизменны. А если посмотреть на математику XX века, то внутри самой математики эти рамки порой меняются так, что никаким гуманитариям и не снилось. И, по большому счёту, настоящего математика, который кое-что знает про конструктивистов и интуиционистами, программу Гильберта и ещё там около того, гуманитарные рамки не должны смущать. У гуманитариев своя логика, а у математиков есть одна главная и на самом деле куча-мала альтернативных, некоторые из которых похлеще любой гуманитарной.
а на общей алгебре оказывается, что какую захотим таблицу умножения, такую и можем взять - просто у нас в результате получится группа, полугруппа или ещё что похуже.
. Он самоотверженно работал над этим в течении 40 лет, нашел 2 миллиона знаков и умер от старости. К сожалению, он ошибся в трёхсоттысячном знаке, а его алгоритм был неустойчив к ошибкам и всё, что он вычислил после первой ошибки, было тоже неправильно. Обнаружили это через много лет после его смерти, с изобретением компьютеров, так что бедняга умер счастливым. Но разве большинство не сочтёт цель его жизни не менее нелепой, чем стремление перекрасить эйфелеву башню? Кстати, "сложности" наш труженик натворил будь здоров 
Сам постиг и сам натворил. Воплощение движущей силы эволюции, мать его!
