Функции нескольких переменных, непрерывность

[samuil]

1)

Цитата:

Почему для $f(x,y)=\dfrac{x^2y^2}{x^2y^2-(x-y)^2}$

$\lim\limits_{x\to 0}\Big\{\lim\limits_{y\to 0}f(x,y)\Big\}=0$

$\lim\limits_{y\to 0}\Big\{\lim\limits_{x\to 0}f(x,y)\Big\}=0$

но предела не существует $\lim\limits_{x\to 0}\limits_{y\to 0}f(x,y)$ (красиво записать не получилось)

(попытка)

$$\lim\limits_{y\to 0}f(x,y)=\lim\limits_{y\to 0}\dfrac{x^2y^2}{x^2y^2-(x-y)^2}=\lim\limits_{y\to 0}\dfrac{x^2y^2}{x^2y^2-x^2-y^2+2xy}=\dfrac{0}{-x^2}=0\;\;(\text{если}\;x^2\ne 0)$$

$$\lim\limits_{x\to 0}\Big\{\lim\limits_{y\to 0}f(x,y)\Big\}=\lim\limits_{x\to 0}0=0$$

$$\lim\limits_{x\to 0}f(x,y)=\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{x^2y^2}{x^2y^2-(x-y)^2}=\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{x^2y^2}{x^2y^2-x^2-y^2+2xy}=\dfrac{0}{-y^2}=0\;\;(\text{если}\;y^2\ne 0)$$

$$\lim\limits_{y\to 0}\Big\{\lim\limits_{x\to 0}f(x,y)\Big\}=\lim\limits_{y\to 0}0=0$$

А как считать такой предел?

$\lim\limits_{x\to 0}\limits_{y\to 0}f(x,y)$?

Там ведь неопределенность $\Big[\dfrac{0}{0}\Big]$

Как от нее избавиться?

2)

Цитата:

Показать, что функция

$f(x,y)=\begin{cases} \frac{2xy}{x^2+y^2} & ,\text{ если }\; x^2+y^2\ne 0 \\ 0& ,\text{ если }\; x^2+y^2=0\\ \end{cases}$

По каждой переменной в отдельности непрерывна (при фиксированном значении другой переменной), но не является непрерывной по совокупности переменных.

Нужно искать те же пределы?

$\lim\limits_{x\to 0}\Big\{\lim\limits_{y\to 0}f(x,y)\Big\}$

$\lim\limits_{y\to 0}\Big\{\lim\limits_{x\to 0}f(x,y)\Big\}$

$\lim\limits_{x\to 0}\limits_{y\to 0}f(x,y)$

Тот же вопрос - как считать $\lim\limits_{x\to 0}\limits_{y\to 0}f(x,y)$

3)

Цитата:

Показать, что функция

$f(x,y)=\begin{cases} (x^2+y^2)\sin\big(\frac{1}{x^2+y^2}\big) & ,\text{ если }\; x^2+y^2\ne 0 \\ 0& ,\text{ если }\; x^2+y^2=0\\ \end{cases}$

Имеет в окрестности $(0;0)$ частные производные первого порядка, которые разрывны в точке $(0;0)$ и неограниченны в любой ее окрестности, но тем не менее, функция дифференцируема в этой точке $(0;0)$.

$f'_x=2x\sin\big(\frac{1}{x^2+y^2}\big)-\cos\big(\frac{1}{x^2+y^2}\big)\cdot \dfrac{2x}{x^2+y^2}$

$f'_y=2y\sin\big(\frac{1}{x^2+y^2}\big)-\cos\big(\frac{1}{x^2+y^2}\big)\cdot \dfrac{2y}{x^2+y^2}$

Разрывны эта частные производные. Но почему функция дифференцируема в этой точке?

[bot]

1) ну, попробуйте найти пути (лучи к примеру) вдоль которых получатся разные пределы
2) аналогично
3) Частные производные в нуле нулевые. А теперь по определению приращение в нуле должно быть $o(\sqrt{x^2+y^2})$. Это не очевидно?

[samuil]

bot в сообщении #537980 писал(а):

1) ну, попробуйте найти пути (лучи к примеру) вдоль которых получатся разные пределы
2) аналогично
3) Частные производные в нуле нулевые. А теперь по определению приращение в нуле должно быть $o(\sqrt{x^2+y^2})$. Это не очевидно?

Спасибо.

1),2) А что значит найти лучи, вдоль которых разные пределы? Как их искать?

3) Не очевидно, почему в нуле нулевые частные производные. Ведь на ноль делить нехорошо, вроде как разрыв должен быть.

[ИСН]

Лучи искать так: попробовать один, потом другой. Вот есть, например, луч $y=x$. А есть луч $y=-x$. (Я не проверял - может, там вовсе не это надо.)
(3) А где это мы там делим на 0?

[DLL]

Цитата:

3) Не очевидно, почему в нуле нулевые частные производные. Ведь на ноль делить нехорошо, вроде как разрыв должен быть.

Воспользуйтесь определением частной производной.

[samuil]

ИСН в сообщении #537989 писал(а):

Лучи искать так: попробовать один, потом другой. Вот есть, например, луч $y=x$. А есть луч $y=-x$. (Я не проверял - может, там вовсе не это надо.)
(3) А где это мы там делим на 0?

Спасибо, понял.

1) $\lim\limits_{x\to 0}f(x,x)=\dfrac{x^2x^2}{x^2x^2-(x-x)^2}=1$

$\lim\limits_{x\to 0}f(x,-x)=\dfrac{x^2x^2}{x^2x^2-(x+x)^2}=0,5$

Так как $1\ne 0,5$ => предела не существует по теореме о единственности предела

2) $f(x,y)=\begin{cases} \frac{2xy}{x^2+y^2} & ,\text{ если }\; x^2+y^2\ne 0 \\ 0& ,\text{ если }\; x^2+y^2=0\\ \end{cases}$

$f(x,x)=\begin{cases} \frac{2xx}{x^2+x^2} & ,\text{ если }\; x^2+x^2\ne 0 \\ 0& ,\text{ если }\; x^2+x^2=0\\ \end{cases}$

$f(x,-x)=\begin{cases} \frac{-2xx}{x^2+x^2} & ,\text{ если }\; x^2+x^2\ne 0 \\ 0& ,\text{ если }\; x^2+x^2=0\\ \end{cases}$

Иными словами:

$f(x,x)=\begin{cases} 1 & ,\text{ если }\; x\ne 0 \\ 0 & ,\text{ если }\; x=0\\ \end{cases}$

$f(x,-x)=\begin{cases} -1 & ,\text{ если }\; x\ne 0 \\ 0 & ,\text{ если }\; x=0\\ \end{cases}$

Только что-то я никак не пойму. Какие могут быть пределы у $\lim\limits_{x\to 0}f(x,-x)$ и $\lim\limits_{x\to 0}f(x,-x)$?

Ведь $lim\limits_{x\to 0+0}f(x,x)=lim\limits_{x\to 0-0}=1$

А $f(0,0)=0$

Получается, что нет предела у той и другой функции?

3) Делим ноль на ноль тут

$f'_x=2x\sin\big(\frac{1}{x^2+y^2}\big)-\cos\big(\frac{1}{x^2+y^2}\big)\cdot \dfrac{2x}{x^2+y^2}$

Рассмотрим прямую $y=x$. Вдоль этой прямой

$f'_x=2x\sin\big(\frac{1}{2x^2}\big)-\cos\big(\frac{1}{2x^2}\big)\cdot \dfrac{1}{x}$

При $x=0$ эта функция терпит разрыв, вроде как...

[ИСН]

1) Всё хорошо, только значение предела во втором случае другое. Проверьте.
2) Ну да. Предел - одно число, а значение функции в точке - другое число. Вы про непрерывные функции слышали? Антоним к этому слову знаете?
3) Ваша f задаётся не совсем так. Там было какое-то выражение с большой левой фигурной скобкой. То есть на 0 мы не делим. Upd. Но - да - приближаемся к этому. Да, производные разрывны. Я забыл, вопрос-то в чём?

[Joker_vD]

(Оффтоп)

Вот за такие выкрутасы студенты и не любят функции двух переменных на экзамене

$\lim\limits_{\substack{x\to0\\y\to0}}f(x,y)$

[samuil]

ИСН в сообщении #538004 писал(а):

1) Всё хорошо, только значение предела во втором случае другое. Проверьте.
2) Ну да. Предел - одно число, а значение функции в точке - другое число. Вы про непрерывные функции слышали? Антоним к этому слову знаете?
3) Ваша f задаётся не совсем так. Там было какое-то выражение с большой левой фигурной скобкой. То есть на 0 мы не делим. Upd. Но - да - приближаемся к этому. Да, производные разрывны. Я забыл, вопрос-то в чём?

Спасибо.

1) Точно, ошибся.

$\lim\limits_{x\to 0}f(x,-x)=\dfrac{x^2x^2}{x^2x^2-(x+x)^2}=0$

2) Понятно, спасибо. Функции имеющие разрыв (не сказать ведь "прерывные"). Или разрывные?

3) Вопрос вот в чем. Почему же в итоге функция дифференцируема в точке $(0;0)$?

-- 12.02.2012, 22:34 --

(Joker_vD)

Joker_vD в сообщении #538007 писал(а):

(Оффтоп)

Вот за такие выкрутасы студенты и не любят функции двух переменных на экзамене

$\lim\limits_{\substack{x\to0\\y\to0}}f(x,y)$

Спасибо, теперь буду знать - как написать такую штучку

[ИСН]

2) Ну да, разрывные - а значит, и вся большая функция в целом разрывна.
3) По определению, дык. Вы проходили по истории каменный век? Ну, когда определение производной люди знали, а таблиц производных ещё не было? Так и корячились каждый раз: $f(x+\Delta x)-f(x)\over\Delta x$...

[samuil]

ИСН в сообщении #538012 писал(а):

2) Ну да, разрывные - а значит, и вся большая функция в целом разрывна.
3) По определению, дык. Вы проходили по истории каменный век? Ну, когда определение производной люди знали, а таблиц производных ещё не было? Так и корячились каждый раз: $f(x+\Delta x)-f(x)\over\Delta x$...

Я бы посчитал предел, если бы знал - какой.

Определение предела

$f'(x)=\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}$

Но у нас ведь функция двух переменных. Частные производные я уже посчитал (правда не по определению). А что нужно именно считать по определению? Быть может опять вдоль луча какого-нибудь?

[ИСН]

Напомните, что такое дифференцируемость для функции нескольких переменных.

-- Вс, 2012-02-12, 23:02 --

Лучами не увлекайтесь. Можно придумать пример, когда вдоль любого луча огого, а на самом деле эгеге.

[samuil]

ИСН в сообщении #538022 писал(а):

Напомните, что такое дифференцируемость для функции нескольких переменных.

(Вот определение из Википедии)

Согласно общему определению функция
$f\colon M\subset R^2 \mapsto R$
двух переменных $x, y$ является дифференцируемой в точке $(x_0,y_0)$ своей области определения $M$, если существуют такие константы $a, b$ и $c$, что для любой точки $(x,y)$ области $M$ верно
$f(x,y)=a + b(x-x_0) + c(y-y_0)+o(\sqrt{(x-x_0)^2+ (y-y_0)^2})$;
при этом число $a$ неизбежно равно значению функции в точке $(x_0,y_0)$, а числа $b$ и $c$ являются частными производными функции в той же точке, то есть

$f(x,y)=f(x_0,y_0) + \left. \frac{\partial f}{\partial x}\right|_{(x_0,y_0)}(x-x_0) + \left. \frac{\partial f}{\partial y}\right|_{(x_0,y_0)}(y-y_0)+ o(\sqrt{(x-x_0)^2+ (y-y_0)^2})$.

Попробую использовать определение.

Функция $f(x,y)=\begin{cases} (x^2+y^2)\sin\big(\frac{1}{x^2+y^2}\big) & ,\text{ если }\; x^2+y^2\ne 0 \\ 0& ,\text{ если }\; x^2+y^2=0\\ \end{cases}$ является дифференцируемой в точке $(0,0)$, если существуют такие константы $a, b$ и $c$,

что для любой точки $(x,y)$ области определения верно $f(x,y)=a + bx + cy+o(\sqrt{x^2+ y^2})$;

при этом число $a=0$ ; $b=?$ и $c=?$ являются частными производными функции в той же точке, то есть

$f(x,y)=0+ \left. \frac{\partial f}{\partial x}\right|_{(0,0)}x + \left. \frac{\partial f}{\partial y}\right|_{0,0)}y+ o(\sqrt{x^2+ y^2})$.

У нас ведь частные производные не определены в точке $(0;0)$ Как быть тогда?

(Не увлекся ли я тут лучами "ища" предел?)

ИСН в сообщении #538022 писал(а):

Лучами не увлекайтесь. Можно придумать пример, когда вдоль любого луча огого, а на самом деле эгеге.

Не увлекся ли я тут лучами "ища" предел?

$\lim\limits_{\substack{x\to0\\y\to0}}f(x,y)$

$f(x,y)=(x+y)\sin\big(\frac{1}{x}\big)\sin\big(\frac{1}{y}\big)$

Я попытался рассмотреть луч $y=x$

$f(x,x)=2x\sin^2\big(\frac{1}{x}\big)$

$\lim\limits_{x\to0}f(x,x)=2x\sin^2\big(\frac{1}{x}\big)=0$

(так как произведение бесконечно малой функции на ограниченную - есть бесконечно малая)


$f(x,-x)=-2x\sin^2(\big(\frac{1}{x}\big)$


$\lim\limits_{x\to0}f(x,x)=\lim\limits_{x\to0}f(x,-x)$


$\lim\limits_{x\to0}f(x,-x)=-2x\sin^2(\big(\frac{1}{x}\big)=0$

[DLL]

Цитата:

У нас ведь частные производные не определены в точке (0;0) Как быть тогда?

На самом деле, они определены. Вы считаете предел частных производных в точке (0;0), и он действительно не существует...

[samuil]

DLL в сообщении #538040 писал(а):

Цитата:

У нас ведь частные производные не определены в точке (0;0) Как быть тогда?

На самом деле, они определены. Вы считаете предел частных производных в точке (0;0), и он действительно не существует...

Спасибо. А почему сами частные производные определены? Если формально поставить туда нули, то получится деление на ноль. (если по определению частных производных считать, то вроде как должно получиться тоже самое...Разве я предел частных производных считал?